Kezdőlap


Feladat:	2003. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tóth Péter
Füzet:	1985/november, 426 - 428. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tömegközéppont helye, Erők forgatónyomatéka, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/február: 2003. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindenekelőtt határozzuk meg az alakzat súlypontját!
Könnyen belátható, hogy a négy $y$ -nal jelölt oldal súlypontja a középső összekötő rúd középpontjában van. Emellett ennek az összekötő rúdnak is itt van a súlypontja, tehát az 1. ábrán $B$ -vel jelölt pontban $50$ kg tömeg összpontosul. Az alsó, $x$ -szel jelölt rúd súlypontja a felezőpontjában, $C$ -ben van. Így látható, hogy az alakzat $S$ súlypontja az $f$ szimmetriatengelyen van, olyan $d$ távolságra az alaptól, amelyre:

\begin{matrix} d \cdot (10 kg) = (y - d) \cdot (50 kg) . \end{matrix}

Innen

y = 1

m felhasználásával

d = (5 / 6)

1. ábra

Most határozzuk meg a kérdéses függvényeket! Feltételezzük, hogy az alakzat eldöntése lassú folyamat, így az

α

szöghöz tartozó

F (α)

erő a forgató-nyomatékok egyenlőségéből számolható:

\begin{matrix} k_{1} M g = k_{2} F (α), \end{matrix}

(1)

ahol

k_{1}

és

k_{2}

a megfelelő erőhöz tartozó erőkar.

2. ábra

α

szög esetén (lásd a 2. ábrát!) a súlyerő erőkarja az

A

forgáspontra nézve:

\begin{matrix} k_{1} = s cos (α + β), \end{matrix}

(2)

ahol

s

S

és az

A

pont távolsága,

β

pedig az

S A C ∢

, így

\begin{matrix} s = \sqrt[]{d^{2} + {(x / 2)}^{2}} = 0, 972 m, \end{matrix}

\begin{matrix} tg β = (\frac{5}{6}) / (\frac{1}{2}) = \frac{5}{3}, így β = 59^{\circ} . \end{matrix}

Az erő nagyságát az a) esetben az

α

szög függvényében

F_{1} (α)

-val, a b) esetben

F_{2} (α)

-val jelöljük. Az a) esetben az

F_{1} (α)

erő erőkarja

\begin{matrix} k_{2} = 2 y cos α . \end{matrix}

(3)

Innen a forgatónyomatékok egyenlősége az a) esetben az (1), (2), (3) összefüggések alapján

\begin{matrix} s cos (α + β) M g = 2 y cos α F_{1} (α) . \end{matrix}

Itt

M

a teljes alakzat tömege. Tehát

\begin{matrix} F_{1} (α) = \frac{s cos (α + β) M g}{2 y cos α} = (cos β - tg α sin β) \frac{s M g}{2 y} . \end{matrix}

Mivel

\begin{matrix} cos β = (\frac{1}{2} m) / s, sin β = (\frac{5}{6} m) / s, \end{matrix}

így

\begin{matrix} F_{1} (α) = (\frac{1}{4} - \frac{5}{12} tg α) M g . \end{matrix}

(4)

α

értéke

0^{\circ}

és

90^{\circ} - β = 31^{\circ}

között változik,

α = 31^{\circ}

-ra

F_{1} (α)

értéke nulla, ekkor a súlypont éppen

A

fölött helyezkedik el.
A b) esetben az

F_{2} (α)

erő állandóan az

A

ponttól

k_{2} = 2 y

távolságra hat, így a forgatónyomatékok egyensúlya most a következő alakban írható:

\begin{matrix} s cos (α + β) M g = 2 y F_{2} (α) . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} F_{2} (α) = cos (α + β) \frac{s M g}{2 y} = (cos α cos β - sin α sin β) \frac{s M g}{2 y} = \\ = (\frac{1}{4} - \frac{5}{12} tg α) M g cos α = F_{1} (α) cos α . \end{matrix}

Az erő nagysága

α = 31^{\circ}

esetén most is nulla.
Az

F_{1} (α)

és

F_{2} (α)

függvényeket a 3. ábrán láthatjuk.

3. ábra