Feladat: 2003. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Tóth Péter 
Füzet: 1985/november, 426 - 428. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tömegközéppont helye, Erők forgatónyomatéka, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/február: 2003. fizika feladat

Az ábra szerinti homogén anyageloszlású vasrudakból álló alakzatot a csukóval rögzített A pont körül a saját síkjában F erővel elkezdjük dönteni. Ábrázoljuk az F erő nagyságát az x oldal vízszintessel bezárt α szögének függvényében, ha
a) az F erő mindig vízszintes irányú,
b) az F erő iránya mindig merőleges az y oldalra!

Mit tapasztalunk? Adatok: x=1 m, y=1 m és 1 m hosszú vasrúd tömege m=10 kg.
 
 

Mindenekelőtt határozzuk meg az alakzat súlypontját!
Könnyen belátható, hogy a négy y-nal jelölt oldal súlypontja a középső összekötő rúd középpontjában van. Emellett ennek az összekötő rúdnak is itt van a súlypontja, tehát az 1. ábrán B-vel jelölt pontban 50 kg tömeg összpontosul. Az alsó, x-szel jelölt rúd súlypontja a felezőpontjában, C-ben van. Így látható, hogy az alakzat S súlypontja az f szimmetriatengelyen van, olyan d távolságra az alaptól, amelyre:
d(10kg)=(y-d)(50kg).
Innen y=1 m felhasználásával d=(5/6) m.
 
 
1. ábra
 

Most határozzuk meg a kérdéses függvényeket! Feltételezzük, hogy az alakzat eldöntése lassú folyamat, így az α szöghöz tartozó F(α) erő a forgató-nyomatékok egyenlőségéből számolható:
k1Mg=k2F(α),(1)
ahol k1 és k2 a megfelelő erőhöz tartozó erőkar.
 
 
2. ábra
 

α szög esetén (lásd a 2. ábrát!) a súlyerő erőkarja az A forgáspontra nézve:
k1=scos(α+β),(2)
ahol s az S és az A pont távolsága, β pedig az SAC, így
s=d2+(x/2)2=0,972m,
tgβ=(56)/(12)=53,ígyβ=59.

Az erő nagyságát az a) esetben az α szög függvényében F1(α)-val, a b) esetben F2(α)-val jelöljük. Az a) esetben az F1(α) erő erőkarja
k2=2ycosα.(3)
Innen a forgatónyomatékok egyenlősége az a) esetben az (1), (2), (3) összefüggések alapján
scos(α+β)Mg=2ycosαF1(α).


Itt M a teljes alakzat tömege. Tehát
F1(α)=scos(α+β)Mg2ycosα=(cosβ-tgαsinβ)sMg2y.
Mivel
cosβ=(12m)/s,sinβ=(56m)/s,
így
F1(α)=(14-512tgα)Mg.(4)
α értéke 0 és 90-β=31 között változik, α=31-ra F1(α) értéke nulla, ekkor a súlypont éppen A fölött helyezkedik el.
A b) esetben az F2(α) erő állandóan az A ponttól k2=2y távolságra hat, így a forgatónyomatékok egyensúlya most a következő alakban írható:
scos(α+β)Mg=2yF2(α).
Innen
F2(α)=cos(α+β)sMg2y=(cosαcosβ-sinαsinβ)sMg2y==(14-512tgα)Mgcosα=F1(α)cosα.



Az erő nagysága α=31 esetén most is nulla.
Az F1(α) és F2(α) függvényeket a 3. ábrán láthatjuk.
 
 
3. ábra
 

 Tóth Péter (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., II. o. t.)