Feladat: 1983. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Nyilas István László ,  Péter Oszkár 
Füzet: 1985/november, 412 - 413. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tehetetlenségi nyomaték, Egyéb merev test síkmozgások, Rugalmas erő, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/december: 1983. fizika feladat

l hosszúságú, M tömegű vékony rudat a két végénél két egyforma, k rugóállandójú rugó tart. Egyensúlyban a rugók hossza l. Függőleges irányú F erővel a rúd bal végét a rugók hosszánál jóval kisebb x0 távolsággal kimozdítjuk az egyensúlyi helyzetből. Írjuk le a rúd végeinek mozgását az F erő megszüntetése után! A rugók tömege elhanyagolható. (Lásd az ábrát!)
 
 

Legyen x1 és x2 a bal, illetve a jobb oldali rugó megnyúlása az egyensúlyi helyzethez képest (1. ábra)! (A rugók egyensúlyi hosszába beleértjük a rúd súlya által okozott Mg/2k megnyúlást, ezért a súlyerőt a mozgásegyenletekben nem fogjuk figyelembe venni.)
 
 
1. ábra
 

A rúd tömegközéppontjának a gyorsulására és a tömegközéppont körüli β szöggyorsulásra felírt mozgásegyenletek:
Ma=-kx1-kx2,(1/12)Ml2β=(l/2)x1k-(l/2)x2k,


ahol Ml2/l2 a rúd tehetetlenségi nyomatéka. Az x1 és x2 elmozdulás kifejezhető a rugó tömegközéppontjának x elmozdulásával és a tömegközéppont körüli elfordulás φ szögével. Kis  φ szögekre
x1=x-(l/2)φ;x2=x+(l/2)φ.
Behelyettesítve a mozgásegyenletekbe:
a=-(2k/M)x;β=-(6k/M)φ.
A két egyenletből leolvasható, hogy a rúd mozgása kétféle harmonikus rezgőmozgás összetétele: ω=2k/M frekvenciával rezeg a rúd tömegközéppontja függőleges irányban, és 3ω frekvenciával forgó rezgést végez a rúd tömegközéppontja körül.
A rúd két végének elmozdulása, figyelembe véve, hogy a kezdő pillanatban x1=x0, x2=0, x1=x2=0:
x1,2=x±φl2=x02(cosωt±cos3ωt),
azaz
x1=x0cos(3-12ωt)cos(3+12ωt),x2=x0sin(3-12ωt)sin(3+12ωt),
 


 Péter Oszkár (Győr, Révai M. Gimn., III. o. t.) és
 Nyilas István László (Nyíregyháza, Krúdy Gy. Gimn., III. o. t.)
 dolgozata alapján
 
Megjegyzések. 1. A kitérések időfüggését ábrázolva (2. ábra) a csatolt rezgésekre jellemző lebegést figyelhetjük meg. Ez arra utal, hogy a rendszer felfogható harmonikus oszcillátorok csatolásaként is: a rúd jobb fele a jobb oldali rugóval, a bal fele pedig a bal oldali rugóval egy-egy oszcillátor. A csatolást köztük az okozza, hogy a rúd két felét mereven összeerősítették; a csatolás erős, ezért a lebegési frekvencia nem sokkal nagyobb az alapfrekvenciánál.
 
 
2. ábra
 

2. x-et és φ-t a rendszer normálkoordinátáinak nevezzük. Bebizonyítható, hogy ha egy tetszőleges mechanikai rendszerre ható erők a stabil egyensúlyi helyzetből való kitéréseknek lineáris függvényei (a rugalmas erők ilyenek), akkor mindig található a független koordinátákkal megegyező számú normálkoordináta, amelyeket az jellemez, hogy egymástól függetlenül közönséges harmonikus rezgőmozgást végeznek.