Kezdőlap


Feladat:	1982. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kopcsa Dénes
Füzet:	1985/november, 411 - 412. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmas ütközések, Merev testek ütközése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/december: 1982. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ütközés előtti időpontban a testek az 1. ábrán látható módon helyezkednek el. Tegyük fel, hogy az ütköző korongok között nincs súrlódás, valamint azt, hogy az ütközés tökéletesen rugalmas! Ekkor a mozgó korong az állóknak csak a középpontjaikat összekötő egyenes irányába mutató lökést tud adni.

1. ábra

2. ábra

Az ütközés utáni pillanatban a testek a 2. ábrán látható sebességekkel rendelkeznek. Egyszerűsítésként válasszuk a korongok tömegét azonosnak! Ekkor a feladat szimmetriája miatt a két meglökött korong sebességének nagysága az ütközés után azonos lesz.
Az ütközésre érvényes az energia és lendület megmaradásának törvénye:

\begin{matrix} (1 / 2) m v^{2} = (1 / 2) m v'^{2} + 2 (1 / 2) m u^{2}, & (1) \\ m v = m v' + 2 m u_{x} = m v' + 2 m u cos α . & (2) \end{matrix}

Az egyenleteket kissé átalakítva:

\begin{matrix} (v - v') (v + v') = 2 u^{2}, \\ (v - v') = 2 u cos α . & (3) \end{matrix}

A második egyenletet az elsőbe írva, feltéve, hogy

u \neq 0

\begin{matrix} v + v' = \frac{u}{cos α} . \end{matrix}

(4)

(3) és (4) lineáris egyenletrendszer, megoldása:

\begin{matrix} v' = v \frac{1 - 2 cos^{2} α}{1 + 2 cos^{2} α}, u = v \frac{2 cos α}{1 + 2 cos^{2} α} . (5 - 6) \end{matrix}

Az 1. ábra alapján

\begin{matrix} sin α = \frac{η}{4}, cos α = \sqrt[]{1 - \frac{η^{2}}{16}} . \end{matrix}

Beírva a kapott (5) és (6) egyenletekbe:

\begin{matrix} v' = v \frac{(η^{2} - 8)}{24 - η^{2}}, u = \frac{4 v \sqrt[]{16 - η^{2}}}{24 - η^{2}} . (7 - 8) \end{matrix}

Az 1. ábra alapján

2 ≦ η ≦ 4

. Az eredetileg mozgó korong megáll, ha

v' = 0

, ez

η = 2 \sqrt[]{2}

esetén következik be. (7) segítségével eldönthetjük

v'

előjelét. Jól láthatóan

2 ≦ η < 2 \sqrt[]{2}

esetén a korong visszapattan,

η = 2 \sqrt[]{2}

esetén megáll,

2 \sqrt[]{2} < η ≦ 4

esetén a korong továbbmegy,

η > 4

esetén nincs ütközés.