Feladat: 1950. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Szabó Zoltán 
Füzet: 1985/január, 42 - 44. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb változó mozgás, Egyéb kinematika, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/szeptember: 1950. fizika feladat

Egy pontszerű test egyenesvonalú mozgást végez. A test által megtett út az idő függvényében leolvasható az ábráról. Határozzuk meg
a) a test átlagsebességét az első 26 s alatt,
b) a test maximális sebességét,
c) azt a t0 időpillanatot, amelyben a test pillanatnyi sebessége megegyezik az átlagsebességével,
d) a test átlagos gyorsulását a 10. és 16. másodperc között!
 
 

A pontszerű test mozgását 4 részre oszthatjuk:
 

I. 0‐10 s: gyorsul (nem egyenletesen),
II. 10‐16 s: állandó sebességgel halad,
III. 16‐20 s: lassul (nem egyenletesen),
IV. 20‐26 s: áll.
 
 

A test pillanatnyi sebessége egy adott t0 időpontban a t0 egy nagyon kis környezetében vett átlagsebességgel közelíthető:
v(t0)s(t)-s(t0)t-t0=ΔsΔt.
Két időpont közötti átlagsebesség:
v¯12=s(t2)-s(t1)t2-t1.
Azaz az s(t) görbén a pillanatnyi sebességet az adott ponthoz húzott érintő meredeksége (tgα), az átlagsebességet a két pontot összekötő egyenes szakasz meredeksége adja.
 
 
1. ábra
 

Így a test átlagsebessége az első 26s alatt:
a) v¯=sössz/tössz=2m/26s=(1/13)m/s=0,077m/s.
b) (1) alapján v ott maximális, ahol a görbe meredeksége a legnagyobb. A leolvasási hibán belül ez a 10-16s időintervallumban van. A függvény képe itt egyenesszakasz, a meredekség állandó, azaz a pillanatnyi és átlagsebesség egyaránt maximális. Célszerű e szakasz végpontjainak koordinátáit leolvasni, hogy a leolvasási hiba minél kisebb legyen.
vmax=1,8m-0,4 m16s-10 s=730m/s=0,23 m/s.

 
 
2. ábra
 

c) Egy t0 időpontig a test átlagsebessége v¯0=s(t0)/t0, tehát egy adott pontban az addigi átlagsebesség akkor egyezik meg a pillanatnyi sebességgel, ha a függvénygörbét az adott pontban érintő egyenes átmegy az origón. Ennek meredeksége lesz az addigi átlagsebesség és az ezzel megegyező pillanatnyi sebesség értéke.
Az 1. ábrán jól látható, hogy a görbének csak egyetlen ilyen pontja van. Ennek t0 abszcisszájára 16s<t0<17 s.
t0 értékét 0,5 másodpercnél pontosabban nincs értelme leolvasni.
d) Mivel b) alapján a 10-16s időintervallumban v=vmax állandó, a pillanatnyi és átlaggyorsulás is 0m/s2.
 

 Szabó Zoltán (Salgótarján, Bolyai J. Gimn., II. o. t.)
 
Megjegyzések. 1. Nem célszerű a grafikon egyes részeit ismert függvényekkel közelíteni, mert így legalább akkora hibával számolunk, mintha az eredeti grafikont használjuk.
2. Többen közelítették az I. és III. szakaszt egyenletesen változó mozgással. Ez elvi hiba. Ha a közelítés a 2. ábra szerinti, a mozgás út‐idő grafikonja nem fog megegyezni a megadott grafikonnal, ahogy az a 3. ábrán látható.
 
 
3. ábra
 

 
 
4. ábra
 

Ha a közelítés a 4. ábra szerinti, akkor a 10. és 16. másodpercben végtelen nagy erőre lenne szükség a sebességugrásokhoz.