Feladat: 1947. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Horváth Péter 
Füzet: 1985/január, 39 - 41. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nyugalmi indukció, Lenz-törvény, Biot-Savart törvény, Határozott integrál, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/május: 1947. fizika feladat

Egy igen hosszú egyenes vezetőben I=(103 A/s)t időtől függő áram halad keresztül. Az egyenes vezetőtől l=5 cm távolságra egy r=0,2 m oldalhosszúságú, R=10-2Ω ellenállású, négyzet alakú vezető keretet helyezünk el. Az egyenes vezető a négyzet síkjában fekszik. (A keret öninduktivitását hanyagoljuk el!)
 
 

a) Hogyan függ a négyzet alakú vezetőben indukált feszültség az időtől?
b) Mikor lesz a négyzet középpontjában a mágneses indukció értéke nulla?

a) A vezetőkeretben indukált U feszültséget az
U=dΦdt,(1)
összefüggésből számíthatjuk, ahol Φ az egyenes vezető által a keret belsejében keltett Bv mágneses indukció fluxusa. Ismeretes, hogy az I árammal átjárt igen hosszú egyenes vezetőtől x távolságra
|Bv|=μ0I2πx,(2)
(μ0 a vákuum permeabilitása).
 
 

Φ meghatározása céljából osszuk fel a keretet ‐ egyszerűség kedvéért ‐ egyenlő (r/n) alapú, r magasságú "vékony'' téglalapokra (l. az ábrát!). A vezetőtől számított i-edik téglalapban elég nagy n esetén Bv közelítőleg állandó, mégpedig (2) miatt alkalmas ξi-vel
|Bv|=μ0I2πξi,
ahol ri-1<ξi<ri,ri=1+ir/n.
Tehát az egész keret fluxusát elég nagy n esetén közelíti
i=1nμ0I2πξirnr=μ0Ir2πi=1n1ξirn.
Ismeretes, hogy
limni=1n1ξirn=ll+r1xdx=ln(l+r)-lnl=ln(1+rl),
tehát
Φ=limni=1nμ0I2πξirnr=μ0Ir2πln(1+rl).(3)

Ezért (1) és (3) alapján
U=μ0r2πln(1+rl)dIdt.(4)

A feladat szerint I=kt (k=103A/s), így (4)-ből adatainkkal a keretben indukált feszültség
U=6,4410-5V.
A feszültség időben állandó, ezért a vezetőkeretben folyó Ik áram is időfüggetlen,
Ik=UR=6,4410-5V10-3Ω=6,4410-2A.(5)

b) Lenz törvénye értelmében a keret O középpontjában az egyenes vezető által keltett Bv és a keretben folyó áram által létrehozott Bk mágneses indukció ellentétes irányú, így az eredő indukció
B=Bv-Bk=0,
ha
(6)
|Bv|=|Bk|.

A Bk indukciót a Biot‐Savart-törvényből számíthatjuk. Szimmetria okok miatt nyilván elegendő a keret pl. AB szakasza által keltett BkAB értéket kiszámítani, ekkor
|Bk|=4|BkAB|=4μ0Ik4πABcosαa2dy=2μ0Ikπr-π/4π/4cosαdα=22μ0Ikπr,(7)
ahol felhasználtuk az a=r2cosα, y=r2tgα , dy=r2cos2αdα összefüggéseket (l. az ábrát!).
A (2) egyenlethez hasonlóan a Bv indukció az O pontban
|Bv|=μ0I2π(l+r/2).
Ezt és a (7) kifejezést (6)-ba írva és kihasználva, hogy I=kt, kapjuk:
|Bv|=μ0kt2π(l+r/2)=22μ0Ikπr=|Bk|.
Rendezve, a keresett időpont
t=42(l+r/2)krIk=420,15m103(A/s)0,2m6,4410-2A=2,7310-4s,
az I=0-hoz tartozó időpontot követően.
 

 Horváth Péter (Gyöngyös, Berze Nagy J. Gimn., IV. o. t.)