Kezdőlap


Feladat:	1944. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Ákos , Porgányi Gergely , Prokaj Vilmos
Füzet:	1985/január, 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Newton-féle gravitációs erő, Kozmikus sebességek, Helyzeti energia inhomogén gravitációs mezőben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/május: 1944. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kilőtt lövedék a bolygó centrális erőterében mozog, és ezért érvényes az impulzusmomentum megmaradás törvénye. (Légellenállás nincs!)
A pálya maximális magassága legyen $h$ , és a lövedék sebessége ebben a magasságban legyen $v$ ! A tetőponton a sebesség iránya merőleges a golyót és a bolygó középpontját összekötő egyenesre. Az impulzusmomentum nem változik a mozgás közben, így a kezdeti helyzetben és a tetőponton ugyanaz az értéke:

\begin{matrix} m v_{0} cos α \cdot R_{0} = m v (R_{0} + h), \end{matrix}

(1)

ahol

m

a lövedék tömege.
Mivel nincs energiaveszteség (nincs súrlódás), a mechanikai energia megmarad:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{0}^{2} - f \frac{M m}{R_{0}} = \frac{1}{2} m v^{2} - f \frac{M m}{R_{0} + h}, \end{matrix}

(2)

ahol

f

a gravitációs állandót jelöli,

M

a bolygó tömege. Az

m

tömegű test súlya a bolygó felszínén:

\begin{matrix} m g_{0} = f \frac{m M}{R_{0}^{2}} . \end{matrix}

(3)

Az (1), (2) és (3) egyenletek alapján a maximális

h

magasság egy másodfokú egyenlet megoldásából adódik:

\begin{matrix} h = R_{0} \cdot \frac{v_{0}^{2} - g_{0} R_{0} \pm \sqrt[]{g_{0}^{2} R_{0}^{2} + (v_{0}^{2} - 2 g_{0} R_{0}) v_{0}^{2} cos^{2} α}}{2 g_{0} R_{0} - v_{0}^{2}} . \end{matrix}

Egyszerű számolással belátható, hogy ha a negatív előjellel számolunk a gyökjel előtt, akkor

h

-ra mindig negatív számot kapunk, ezért fizikailag csak a pozitív előjel a helyes.
Látható, hogy

v_{0} = \sqrt[]{2 g_{0} R_{0}}

értéknél

h

végtelen nagy. Tehát

v_{0} \geq 2 g_{0} R_{0}

sebességgel indítva a lövedéket, az nem tér vissza a bolygóra.
Ha

v_{0} ≪ g_{0} R_{0}

, akkor az emelkedési magasság ugyanakkora, mint ferde hajítás esetén.

Megjegyzések. 1. Több megoldó a tetőpontban a lövedék sebességét zérusnak vette ‐ ez már az egyszerű ferde hajításnál sem igaz. Mások hibásan azt állították, hogy a golyó vízszintes sebessége nem változik ‐ ez viszont csak a ferde hajításra teljesül.
2. A feladat megoldása során feltettük, hogy a bolygó és a lövedék tömegközéppontja a bolygó középpontjában van. Ez a feltevés azért jogos, mert

M ≫ m