Feladat: 1944. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Horváth Ákos ,  Porgányi Gergely ,  Prokaj Vilmos 
Füzet: 1985/január, 38. oldal  PDF file
Témakör(ök): Newton-féle gravitációs erő, Kozmikus sebességek, Helyzeti energia inhomogén gravitációs mezőben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/május: 1944. fizika feladat

Egy légkör nélküli, R0 sugarú bolygó felszínén a gravitációs gyorsulás értéke g0. Mekkora maximális magasságra emelkedik fel a bolygó felszínéhez képest egy v0 kezdősebességgel, α szög alatt kilőtt lövedék?

A kilőtt lövedék a bolygó centrális erőterében mozog, és ezért érvényes az impulzusmomentum megmaradás törvénye. (Légellenállás nincs!)
A pálya maximális magassága legyen h, és a lövedék sebessége ebben a magasságban legyen v! A tetőponton a sebesség iránya merőleges a golyót és a bolygó középpontját összekötő egyenesre. Az impulzusmomentum nem változik a mozgás közben, így a kezdeti helyzetben és a tetőponton ugyanaz az értéke:
mv0cosαR0=mv(R0+h),(1)
ahol m a lövedék tömege.
Mivel nincs energiaveszteség (nincs súrlódás), a mechanikai energia megmarad:
12mv02-fMmR0=12mv2-fMmR0+h,(2)
ahol f a gravitációs állandót jelöli, M a bolygó tömege. Az m tömegű test súlya a bolygó felszínén:
mg0=fmMR02.(3)

Az (1), (2) és (3) egyenletek alapján a maximális h magasság egy másodfokú egyenlet megoldásából adódik:
h=R0v02-g0R0±g02R02+(v02-2g0R0)v02cos2α2g0R0-v02.
Egyszerű számolással belátható, hogy ha a negatív előjellel számolunk a gyökjel előtt, akkor h-ra mindig negatív számot kapunk, ezért fizikailag csak a pozitív előjel a helyes.
Látható, hogy v0=2g0R0 értéknél h végtelen nagy. Tehát v02g0R0 sebességgel indítva a lövedéket, az nem tér vissza a bolygóra.
Ha v0g0R0, akkor az emelkedési magasság ugyanakkora, mint ferde hajítás esetén.
 

 Porgányi Gergely (Bp., ELTE Apáczai Csere J. Gimn. II. o. t.)
 
Megjegyzések. 1. Több megoldó a tetőpontban a lövedék sebességét zérusnak vette ‐ ez már az egyszerű ferde hajításnál sem igaz. Mások hibásan azt állították, hogy a golyó vízszintes sebessége nem változik ‐ ez viszont csak a ferde hajításra teljesül.
2. A feladat megoldása során feltettük, hogy a bolygó és a lövedék tömegközéppontja a bolygó középpontjában van. Ez a feltevés azért jogos, mert Mm.