Kezdőlap


Feladat:	1942. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kintli Lajos , Leisztinger Tamás , Porgányi Gergely
Füzet:	1984/december, 476 - 477. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nyújtás, összenyomás, Pontrendszer helyzeti energiája, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Négyzetszámok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/május: 1942. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az emelést addig végezzük, amíg az utolsó test épp hogy érinti a talajt. Tegyük fel, hogy a végállapotban a lánc nyugalomban van $(E_{kin} = 0)$ . Tehát a munkatétel alapján az emelési munka két részre oszlik. Az egyik a rugók rugalmas energiáját növeli, a másik a testek potenciális (helyzeti) energiáját.
Az alulról számított $i$ -edik rugó megnyúlásából adódó rugalmas energia

\begin{matrix} E_{r i} = \frac{1}{2} D {(Δ x_{i})}^{2}; \end{matrix}

felhasználva az 1937-es feladat megoldásában számolt

Δ x_{i}

értéket

\begin{matrix} E_{r i} = \frac{1}{2} D {(\frac{m g}{D} i)}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m^{2} g^{2}}{D} i^{2} . \end{matrix}

Így az összes rugóban felhalmozódott energia

\begin{matrix} E_{r} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{m^{2} g^{2}}{2 D} i^{2} = \frac{m^{2} g^{2}}{2 D} \sum_{i = 1}^{10} i^{2} = 385 \frac{m^{2} g^{2}}{2 D} = 385 J . \end{matrix}

A helyzeti energia meghatározásához először számoljuk ki az

i

-edik test talajtól számított

h_{i}

távolságát! Ez

(i - 1)

darab rugó nyugalmi hosszának és megnyúlásának összege. Így

\begin{matrix} h_{i} = (i - 1) l_{0} + \sum_{k = 1}^{i - 1} \frac{m g}{D} k . \end{matrix}

Ezért az

i

-edik test helyzeti energiája

\begin{matrix} E_{h i} = m g [(i - 1) l_{0} + \frac{m g}{D} \sum_{k - 1}^{i - 1} k] = m g [(i - 1) l_{0} + \frac{m g}{D} \cdot \frac{(i - 1) i}{2}] . \end{matrix}

Így az összes helyzeti energia

\begin{matrix} E_{h} & = m g \sum_{i = 1}^{10} [(i - 1) l_{0} + \frac{m g}{D} \cdot \frac{(i - 1) i}{2}] = m g [\frac{m g}{2 D} \sum_{i = 1}^{10} i^{2} + (l_{0} - \frac{m g}{2 D}) \sum_{i = 1}^{10} i - 10 l_{0}] = \\ = 780 J . \end{matrix}

Tehát az emelés során végzett munka:

\begin{matrix} W = E_{r} + E_{h} = 1165 J . \end{matrix}