Feladat: 1941. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Papp László ,  Steiber János 
Füzet: 1984/december, 475 - 476. oldal  PDF file
Témakör(ök): Lineáris hőtágulás, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/május: 1941. fizika feladat

Az anizotróp kristályok melegítés hatására két egymásra merőleges tengely mentén különbözőképpen tágulnak. Egy ilyen kristályból kivágtunk egy a oldalú négyzetet, és t hőmérsékletű melegítés hatására egy a(1+Δ) oldalú rombusz lett belőle, amely átlóinak aránya 1+ε. Mekkora a kristály két irányú hőtágulási együtthatója?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A melegítés során a négyzetből rombusz lett, ebből arra következtethetünk (l. a megjegyzést), hogy a két kitüntetett irány az átlók iránya (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

Így
A'C'=AC(1+α1t)=a2(1+α1t) és B'D'=BD(1+α2t)=a2(1+α2t).
A két egyenletet egymással elosztva a rombusz átlóinak arányát, (1+ε)-t kapjuk:
1+ε=A'C'B'D'=1+α1t1+α2t.
Innen
εt=α1-α21+α2t.

Mivel α2t1, az előző egyenlőség helyett az alábbi közelítést vehetjük:
εtα1-α2.(1)
A négyzet oldalának tágulására igaz, hogy az átlók által megszabott mértékben tágul. Így
A'B'=(AO)2(1+α1t)2+(BO)2(1+α2t)2=a2(1+α1t)2+(1+α2t)2.
A négyzetre emelést elvégezve és a másodfokú tagokat elhanyagolva nyerjük, hogy
A'B'=a1+(α1+α2)t.

Használjuk a 1+x1+x2 közelítést (x1)! Így
A'B'=a(1+α1+α22t).

A feladat szövege alapján Δ=α1+α22t, vagyis
2Δt=α1+α2.(2)
(1) és (2) alapján
α1=12t(2Δ+ε)ésα2=12t(2Δ-ε).


 
Megjegyzés. A megoldás első állításának (a két kitüntetett irány az átló) igazolására vegyünk fel egy koordináta-rendszert a kitüntetett irányokba mutató tengelyekkel (2. ábra)!
 
 
2. ábra
 

Vizsgáljuk meg, hogy az egyik tengellyel szöget bezáró szakasz hogyan tágul!
A megoldásban említettek szerint
l=l02cos2β(1+α1t)2+l02sin2β(1+α2t)2l01+2l(α1cos2β+α2sin2β)l0[1+(α1cos2β+α2sin2β)t].
Így az ,,eredő'' hőtágulási együttható
α=α1cos2β+α2sin2β=α1+(α2-α1)sin2β.
Mivel esetünkben a négyzet oldalai egyenlően tágultak, sin2β minden oldalra egyforma. Ez pedig azt jelenti, hogy a két kitüntetett irány megfelel az átlóknak.