Feladat: 1915. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Uhlmann Erik 
Füzet: 1984/november, 417 - 418. oldal  PDF file
Témakör(ök): Hosszú egyenes vezető mágneses tere, Áramvezetőre ható erő, Steiner-tétel, Egyéb merev test térbeli mozgása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/február: 1915. fizika feladat

Egy a=10 cm oldalhosszúságú, m=20 g tömegű, négyzet alakú vezetőkeret vízszintes helyzetben van egy igen hosszú egyenes vezető felett úgy, hogy a vezető párhuzamos a négyzet két oldalával, és a négyzet középpontján átmenő függőleges metszi az egyenes vezetőt. A vezető a keret síkjától a/2 távolságra van. A keretben 100 A erősségű áram folyik. Mekkora és milyen irányú a keret szöggyorsulása és tömegközéppontjának gyorsulása abban a pillanatban, amikor azt lökésmentesen elengedjük, és egyidejűleg a hosszú egyenes vezetékbe 1000 A erősségű áramot indítunk?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I1 árammal átjárt hosszú egyenes vezetőtől r távolságban a vezető által létrehozott mágneses tér nagysága H=I12πr , iránya a jobbkézszabály segítségével határozható meg. Vákuumot feltételezve a létrejövő indukció nagysága B=μ0I12πr.
B indukciós térben levő I2 árammal átjárt vezető dl hosszúságú kicsiny darabjára F=I2dl×B erő hat. (A dl vektor iránya az áraméval azonos.)
Ezek alapján könnyen beláthatjuk, hogy a hosszú egyenes vezetőre merőleges két oldalra a mágneses tér miatt ható erők eredője és a rájuk ható együttes forgatónyomaték zérus. Válasszunk ki ezen a két szemben fekvő oldalon két szemben fekvő, egyező hosszúságú dl1, és dl2 darabot (1. ábra). Ezekre a darabokra ható F1, illetve F2 erőkre F1=-F2. Az erők hatásvonala közös, így a forgatónyomaték is zérus.

 
 
1. ábra
 

A vezetővel párhuzamos, a hosszúságú oldalak minden darabjára azonos erő hat, így a teljes vezető szakaszra
F3=F4=μ0I1I22πa2/2a=μ0I1I22π
nagyságú erő hat. Az erők iránya a 2. ábrán látható. (A keretet és a hosszú vezetőt a hosszú vezető irányából nézve ábrázoltuk. A hosszú vezetőben az áram "lefelé'' folyik.)
 
 
2. ábra
 

A keret mozgását így az F3 és az F4 erők és a keret középpontjában ható mg súlyerő határozzák meg. Az F3 és az F4 erők eredője vízszintes irányú, nagysága F=μ0I1I2π=0,04N. Ez az m=0,02kg tömegű keretet g1=2m/s2 gyorsulással mozgatja oldalra. Az eredő gyorsulás ge=g2+g12=10,2m/s2, iránya α=arctg(g1/g)=11,5-os szöget zár be a merőlegessel.
A szöggyorsulás meghatározásához ismernünk kell a keret súlypontján áthaladó, a hosszú vezetővel párhuzamos tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékot. A Steiner-tétel alkalmazásával ez a tehetetlenségi nyomaték Θ=(1/6)ma2. Az F3 és az F4 erők által kifejtett forgatónyomaték:
M=2F3a24.
A létrehozott szöggyorsulás
β=MΘ=μ0I1I2a(1/3)πma2=60s-2.

A keret az elengedés pillanatában tehát a függőlegessel 11,5-os szöget bezáró irányban indul el 10m/s2 gyorsulással, míg szöggyorsulása a hosszú egyenes vezetővel párhuzamos és 60(1/s2) nagyságú.