Kezdőlap


Feladat:	1886. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fáth Gábor , Kotek Gyula , Megyesi Gábor , Németh-Buhin Ákos
Füzet:	1984/április, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmonikus rezgőmozgás, Adiabatikus állapotváltozás, Analógia alkalmazása, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/november: 1886. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mozdítsuk ki a higanycseppet kis $x$ ( $x ≪ V_{1} / A$ ; $V_{2} / A$ ) távolságra egyensúlyi helyzetéből! Ennek hatására a gáz térfogata mindkét oldalon megváltozik. A folyamat ‐ gyorsasága folytán ‐ adiabatikusnak tekinthető.
Az új térfogatok $V'_{1} = V_{1} - A x$ , illetve $V'_{2} = V_{2} + A x$ lesznek. A változást leíró állapotegyenletek $p_{1} {(V'_{1})}^{κ} = p V_{1}^{κ}$ illetve $p_{2} {(V'_{2})}^{κ} = p V_{2}^{κ}$ . Az új térfogatokat behelyettesítve az új nyomások

\begin{matrix} p_{1} = p_{0} \cdot {(\frac{V_{1}}{V_{1} - A x})}^{κ} = p_{0} \cdot (\frac{1}{1 - \frac{A x}{V_{1}}})^{κ} \approx p_{0} \cdot (1 + \frac{A x}{V_{1}})^{κ} \approx p_{0} (1 + κ \cdot \frac{A x}{V_{1}}) . \end{matrix}

Hasonlóan:

p_{2} = p_{0} \cdot (1 - κ \frac{A x}{V_{2}})

.
(Felhasználhatók az

\frac{1}{1 \pm y} \approx 1 \mp y

és az

{(1 \pm y)}^{m} \approx 1 \pm m y

közelítések, hiszen az

y = \frac{A x}{V_{1}} ≪ 1

y = \frac{A x}{V_{2}} ≪ 1

feltételek teljesülnek.)
A higanycseppre ható nyomáskülönbség:

\begin{matrix} Δ p = p_{1} - p_{2} = p_{0} \cdot κ \cdot A \cdot (\frac{1}{V_{1}} + \frac{1}{V_{2}}) \cdot x . \end{matrix}

Kis kitérés esetén a nyomáskülünbség tehát arányos

x

-szel. A visszatérítő erő,

F = Δ p \cdot A

kitéréssel arányos, így harmonikus rezgés alakul ki, a direkciós erő:

\begin{matrix} D = \frac{F}{x} = p_{0} κ A^{2} (\frac{1}{V_{1}} + \frac{1}{V_{2}}) . \end{matrix}

A rezgés frekvenciája

\begin{matrix} f = \frac{1}{2 π} \sqrt[]{\frac{D}{m}} = \frac{A}{2 π} \sqrt[]{\frac{p_{0} κ}{m} (\frac{1}{V_{1}} + \frac{1}{V_{2}}}) . \end{matrix}

κ = \frac{5}{3}

-dal és a közölt numerikus adatokkal:

f = {1,5 s}^{- 1}