Kezdőlap


Feladat:	1862. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Uhlmann Erik
Füzet:	1984/február, 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkinga, Harmonikus rezgőmozgás, Tökéletesen rugalmas ütközések, Ütközés fallal, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/szeptember: 1862. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ütközés előtti pillanatban a tömegpont sebessége merőleges a falra, mert a fal sugár-, a pillanatnyi sebesség pedig érintő irányú. Tökéletesen rugalmas ütközés esetén a tömegpont sebességének nagysága ütközés után ugyanakkora lesz, mint ütközés előtt, iránya pedig éppen ellentétes. Így az ütközés utáni sebesség az lesz, mintha a tömegpont ütközés nélkül elért volna a szélső helyzetbe és onnan az ütközés pontjáig visszajött volna, hiszen a pálya bármely pontjában a sebességet a mechanikai energia megmaradása egyértelműen meghatározza. Tehát a tömegpont további mozgása során "nem tud arról'', hogy ütközött; így a teljes lengésidőből csak az az időtartam marad ki, amit a tömegpont a fal mögött töltene, ha az ütközés idejét elhanyagoljuk.
A matematikai inga mozgásegyenlete kis kitérés esetén

\begin{matrix} β (t) = β sin ω t, \end{matrix}

(1)

ahol

β (t)

a függőleges és az inga fonala által bezárt szöget,

β

a kitérés (szög ‐ ) amplitúdóját,

ω = \sqrt[]{g / l}

pedig a körfrekvenciát jelöli. Ha nem lenne fal, a teljes lengésidő

T = 2 π \sqrt[]{l / g}

lenne.

Legyen olyan helyzetű a fal, hogy a tömegpont

T / 4

ideig zavartalanul mozoghat, utána azonban csak

α

-ig tud kitérni. Az a kitéréshez szükséges időt (1)-ből könnyen megkapjuk, ha az

\begin{matrix} α = β sin ω t \end{matrix}

kifejezésből

t

-t kifejezzük, ami

\begin{matrix} t = (1 / ω) arc sin (α / β) . \end{matrix}

Ugyanennyi idő szükséges a függőleges helyzet eléréséhez. Így ha

2 t

-hez hozzáadunk

T / 2

-t, akkor megkapjuk a fallal akadályozott inga lengésidejét

(T^{*})

, ami

\begin{matrix} T^{*} = π \sqrt[]{l / g} + (2 / ω) arc sin (α / β) = \sqrt[]{l / g} (π + 2 arc sin (α / β)) . \end{matrix}

Abban az esetben, ha a falat úgy helyezzük el, hogy az elengedés után még

T / 4

ideig sem tud ütközés nélkül mozogni a tömegpont, akkor a szélső helyzetből az ütközésig eltelt időt a következő összefüggés határozza meg:

\begin{matrix} α = β sin (ω t + π / 2) . \end{matrix}

Most ennek az időnek a kétszerese az inga lengésideje

(\tilde{T})

\begin{matrix} \tilde{T} = (2 / ω) arc cos (α / β) : \end{matrix}