Feladat: 1862. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Uhlmann Erik 
Füzet: 1984/február, 88. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkinga, Harmonikus rezgőmozgás, Tökéletesen rugalmas ütközések, Ütközés fallal, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/szeptember: 1862. fizika feladat

A függőlegeshez képest kis α szöggel megdöntött falra matematikai ingát függesztünk. Ezután a falra merőleges síkban a függőlegeshez képest kis β szöggel kitérítjük az ingát, majd elengedjük. Határozzuk meg a lengés periódusidejét, ha α<β és a falon tökéletesen rugalmas az ütközés!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ütközés előtti pillanatban a tömegpont sebessége merőleges a falra, mert a fal sugár-, a pillanatnyi sebesség pedig érintő irányú. Tökéletesen rugalmas ütközés esetén a tömegpont sebességének nagysága ütközés után ugyanakkora lesz, mint ütközés előtt, iránya pedig éppen ellentétes. Így az ütközés utáni sebesség az lesz, mintha a tömegpont ütközés nélkül elért volna a szélső helyzetbe és onnan az ütközés pontjáig visszajött volna, hiszen a pálya bármely pontjában a sebességet a mechanikai energia megmaradása egyértelműen meghatározza. Tehát a tömegpont további mozgása során "nem tud arról'', hogy ütközött; így a teljes lengésidőből csak az az időtartam marad ki, amit a tömegpont a fal mögött töltene, ha az ütközés idejét elhanyagoljuk.
A matematikai inga mozgásegyenlete kis kitérés esetén

β(t)=βsinωt,(1)
ahol β(t) a függőleges és az inga fonala által bezárt szöget, β a kitérés (szög ‐ ) amplitúdóját, ω=g/l pedig a körfrekvenciát jelöli. Ha nem lenne fal, a teljes lengésidő T=2πl/g lenne.

Legyen olyan helyzetű a fal, hogy a tömegpont T/4 ideig zavartalanul mozoghat, utána azonban csak α-ig tud kitérni. Az a kitéréshez szükséges időt (1)-ből könnyen megkapjuk, ha az
α=βsinωt
kifejezésből t-t kifejezzük, ami
t=(1/ω)arcsin(α/β).
Ugyanennyi idő szükséges a függőleges helyzet eléréséhez. Így ha 2t-hez hozzáadunk T/2-t, akkor megkapjuk a fallal akadályozott inga lengésidejét (T*), ami
T*=πl/g+(2/ω)arcsin(α/β)=l/g(π+2arcsin(α/β)).
Abban az esetben, ha a falat úgy helyezzük el, hogy az elengedés után még T/4 ideig sem tud ütközés nélkül mozogni a tömegpont, akkor a szélső helyzetből az ütközésig eltelt időt a következő összefüggés határozza meg:
α=βsin(ωt+π/2).
Most ennek az időnek a kétszerese az inga lengésideje (T˜).
T˜=(2/ω)arccos(α/β):