Kezdőlap


Feladat:	1834. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Árkossy Ottó , Csillag Péter , Szakállas Gyula
Füzet:	1983/november, 184 - 185. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Párhuzamos RLC-kör, Egyirányú rezgések összetevése, Vektordiagramok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/február: 1834. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A főágban folyó áram

\begin{matrix} I (t) = 20 A sin (314 s^{- 1} t) \approx 20 A sin (100 π s^{- 1} t), \end{matrix}

ahonnan leolvasható, hogy a hálózat

f

frekvenciája

f = 50

Hz.

1. ábra

Jelöljük a két ágban folyó áram pillanatnyi értékét

I_{1} (t)

-vel, ill.

I_{2} (t)

-vel (1. ábra), ekkor a feladat szerint

\begin{matrix} I_{1} (t) = I'_{1} sin (100 π t + π / 3), & (1) \\ I_{2} (t) = I'_{2} sin (100 π t - π / 6), & (2) \end{matrix}

I'_{1}

, ill.

I'_{2}

csúcsáramokat a csomóponti törvényből határozhatjuk meg, amely szerint minden időpillanatban

\begin{matrix} I (t) = I_{1} (t) + I_{2} (t), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 20 A sin (100 π t) = I'_{1} sin (100 π t + π / 3) + I'_{2} sin (100 π t - π / 6) . \end{matrix}

(3)

A (3) egyenletbe

t = 0

-t, majd

t = 1 / 200

s-ot helyettesítve a

\begin{matrix} 0 & = I'_{1} \cdot \sqrt[]{3} / 2 - I'_{2} / 2, \\ 20 A & = I'_{1} / 2 + I'_{2} \cdot \sqrt[]{3} / 2 \end{matrix}

egyenletrendszer adódik, amelynek megoldása

\begin{matrix} I'_{1} = 10 A, I'_{2} = 10 \cdot \sqrt[]{3} A, \end{matrix}

ahol tehát

I'_{1}

a főághoz képest siető,

I'_{2}

a késő ág csúcsárama. Ezeket az (1) és (2) összefüggésbe beírva, majd

t = 0, 01

s-ot helyettesítve

I_{1} (0, 01 s) = - 8, 66

A, ill.

I_{2} (0, 01 s) = 8, 66

Az egyes ágakban az impedancia:

\begin{matrix} Z_{1} \frac{U_{csúcs}}{I'_{1}} = \frac{220 V \cdot \sqrt[]{2}}{10 A} \approx 31, 11 Ω, & (4) \\ Z_{2} \frac{U_{csúcs}}{I'_{2}} = \frac{220 V \cdot \sqrt[]{2}}{10 A \cdot \sqrt[]{3}} \approx 17, 96 Ω, & (5) \end{matrix}

Az egyes ágakban folyó áramok egymáshoz viszonyított fáziseltolódása

φ = π / 3 + π / 6 = π / 2

, ezért a legegyszerűbb esetben

\begin{matrix} a) Z_{1} & = R & b) Z_{1} & = 1 / ω C \\ Z_{2} & = ω L & Z_{2} & = R \end{matrix}

vagyis a kívánt tulajdonságokkal rendelkező áramkört egy párhuzamos

R L

, ill.

R C

körrel valósíthatjuk meg (2. ábra).

2. ábra

A (4) és (5) impedancia értékek, ill. az

ω = 2 π f

összefüggés felhasználásával az

a)

esetben

R = 31

11 Ω

L = 57, 21

mH, a

b)

esetben pedig

C = 102, 30 μ

R = 17, 96 Ω

Szakállas Gyula (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., III. o. t.)