Feladat: 1834. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Árkossy Ottó ,  Csillag Péter ,  Szakállas Gyula 
Füzet: 1983/november, 184 - 185. oldal  PDF file
Témakör(ök): Párhuzamos RLC-kör, Egyirányú rezgések összetevése, Vektordiagramok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/február: 1834. fizika feladat

Egy váltakozó áramú hálózat eredő áramerősségét az I=20 Asin(314s-1t) összefüggés adja meg. Ez az áram a hálózatban kétfelé ágazik: az egyik ágban π/3 szöggel siet, a másikban π/6 szöggel késik az I-hez képest. Mekkora a két ágban az áramerősség pillanatnyi értéke a t=0,01 s időpontban? Milyen és mekkora impedanciák lehetnek az egyes ágakban? A hálózati feszültség 220 V.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A főágban folyó áram

I(t)=20 Asin(314 s-1t)20 Asin(100π s-1t),
ahonnan leolvasható, hogy a hálózat f frekvenciája f=50 Hz.
 

1. ábra
 
Jelöljük a két ágban folyó áram pillanatnyi értékét I1(t)-vel, ill. I2(t)-vel (1. ábra), ekkor a feladat szerint
I1(t)=I'1sin(100πt+π/3),(1)I2(t)=I'2sin(100πt-π/6),(2)


Az I'1, ill. I'2 csúcsáramokat a csomóponti törvényből határozhatjuk meg, amely szerint minden időpillanatban
I(t)=I1(t)+I2(t),
azaz
20 Asin(100πt)=I'1sin(100πt+π/3)+I'2sin(100πt-π/6).(3)
A (3) egyenletbe t=0-t, majd t=1/200 s-ot helyettesítve a
0=I'13/2-I'2/2,20 A=I'1/2+I'23/2
egyenletrendszer adódik, amelynek megoldása
I'1=10 A,I'2=103 A,
ahol tehát I'1 a főághoz képest siető, I'2 a késő ág csúcsárama. Ezeket az (1) és (2) összefüggésbe beírva, majd t=0,01 s-ot helyettesítve I1(0,01 s)=-8,66 A, ill. I2(0,01 s)=8,66 A.
 

Az egyes ágakban az impedancia:
Z1UcsúcsI'1=220 V210 A31,11Ω,(4)Z2UcsúcsI'2=220 V210A317,96Ω,(5)



Az egyes ágakban folyó áramok egymáshoz viszonyított fáziseltolódása φ=π/3+π/6=π/2, ezért a legegyszerűbb esetben
a)Z1=Rb)Z1=1/ωCZ2=ωLZ2=R
vagyis a kívánt tulajdonságokkal rendelkező áramkört egy párhuzamos RL, ill. RC körrel valósíthatjuk meg (2. ábra).
 
 

2. ábra
 
A (4) és (5) impedancia értékek, ill. az ω=2πf összefüggés felhasználásával az a) esetben R=31, 11Ω, L=57,21 mH, a b) esetben pedig C=102,30μF, R=17,96Ω.
 

 Szakállas Gyula (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., III. o. t.)