Feladat:	1822. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Benyó Zoltán
Füzet:	1983/október, 92 - 93. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb folyadék- és gázáramlás, Szivattyúk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/január: 1822. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Jelöljük $s$-sel a szelep vízszint feletti magasságát, akkor a sebesség‐idő grafikonból meghatározható az út‐idő grafikon (1. ábra).   1. ábra   Az $n\cdot 0\mathrm{,}5\text{ s}$ és $\left(n+1\right)\cdot 0\mathrm{,}5\text{ s}$ időintervallumban $\begin{array}{c}{\displaystyle s\left(t\right)={\left(-1\right)}^n\left[v_0\left(t-n\cdot 0\mathrm{,}5\text{ s}\right)+\left(a/2\right){\left(t-n\cdot 0\mathrm{,}5\text{ s}\right)}^2\right]}\end{array}$ ahol $v_0=1\mathrm{,}5\text{ m/s}$ és $a=6{\text{ m/s}}^2$ értékek a sebesség‐idő grafikonból leolvashatók. A gyorsulás‐idő grafikon a 2. ábrán látható.     2. ábra     Számítsuk ki a nyomást a szelep fölött ($p_1$) és alatt ($p_2$)! Ha a szelep fölött $h$ magasságú vízoszlop van, amelynek gyorsulása $a$ ($a$ iránya felfelé pozitív), akkor Newton II. törvénye alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle p_{1}A-p_{0}A-h\cdot A\cdot \varrho \cdot g=h\cdot A\cdot \varrho \cdot a\mathrm{,}}\end{array}$ (1) ahol $A$ a cső keresztmetszete, $\varrho$ a víz sűrűsége, $p_0$ a külső nyomás. (1)-ből $\begin{array}{c}{\displaystyle p_1=p_0+h\varrho \left(g+a\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (2) A szelep alatti gyorsított víz tömege $H\cdot A\cdot \varrho$. Most erre a víztömegre írjuk fel Newton II. törvényét: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle p_{0}A+\left(H-s\right)A\cdot \varrho \cdot g-\varrho \cdot H\cdot A\cdot g-p_{2}A=H\cdot A\cdot \varrho \cdot a\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\end{array}}$ Az egyenlet bal oldalának második tagja a szelep alatti vízre ható felhajtóerő. (3)-ból $\begin{array}{c}{\displaystyle p_2=p_0-\left(sg+aH\right)\varrho \mathrm{.}}\end{array}$ (4) Ha a mozgás folyamán van olyan időpont, amikor $p_1<p_2$, akkor a szelepen keresztül további víz áramlik a szelep fölé, tehát a szelep fölött a víz magassága még nő. Ha viszont a mozgás során végig teljesül a $p_1\geqq p_2$ egyenlőtlenség, akkor a szelep fölött a víz magassága nem emelkedik tovább, $h$ eléri a maximális értéket. (2) és (4) alapján a $p_1\geqq p_2$ egyenlőtlenség így írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle p_0+h\varrho \left(g+a\right)\geqq p_0-\left(sg+aH\right)\varrho \mathrm{,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle h\geqq -\frac{sg+aH}{g+a}\mathrm{.}}\end{array}$ (5) Ezért a szelep fölötti vízoszlop magasságának maximális értéke (5) jobb oldalának az összes $t$ értékre vett maximuma: $\begin{array}{c}{\displaystyle h_{\text{max}}=\underset{t}{\overset{}{\text{max}}}\left[-\frac{s\left(t\right)g+a\left(t\right)H}{g+a\left(t\right)}\right]\mathrm{.}}\end{array}$ (6) Ugyanis $h<h_{\text{max}}$ esetén a fentiek szerint van olyan időpillanat, amikor $p_1<p_2$, így ekkor a vízoszlop magassága tovább nő. Viszont $h=h_{\text{max}}$ esetén a mozgás folyamán már végig teljesül a $p_1\geqq p_2$ egyenlőtlenség, ezért a vízszint tovább nem emelkedhet a szelep fölött.   Az út‐idő és gyorsulás‐idő grafikonok alapján könnyen kiszámolható, hogy azokon a szakaszokon, ahol $a=-6{\text{ m/s}}^2$, (5) jobb oldalának maximális értéke negatív, ahol pedig $a=6{\text{ m/s}}^2$, ott (5) jobb oldalának maximális értéke $2\mathrm{,}25\text{ m}$. Eszerint $h_{\text{max}}=2\mathrm{,}25\text{ m}$.    Benyó Zoltán (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)