Feladat: 1822. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Benyó Zoltán 
Füzet: 1983/október, 92 - 93. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb folyadék- és gázáramlás, Szivattyúk, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/január: 1822. fizika feladat

Egy csőben az aljától számított 1,5 m magasságban szelep van, amely a legkisebb nyomáskülönbség hatására felfelé nyílik. A csövet vízbe helyezzük úgy, hogy a szelep t=0 időpillanatban a víz színével egyenlő magasságban legyen, majd periodikus mozgással fel‐le mozgatjuk. A cső sebességét az idő függvényében az ábrán látható grafikon adja meg. A szeleptől számítva milyen maximális h magasságra emelkedik fel a csőben a víz? A csőnek a vízben történő mozgatásakor fellépő zavaró jelenségektől (pl. a súrlódástól) tekintsünk el.
 

1822. feladat
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.


 

Jelöljük s-sel a szelep vízszint feletti magasságát, akkor a sebesség‐idő grafikonból meghatározható az út‐idő grafikon (1. ábra).
 

1. ábra
 
Az n0,5 s és (n+1)0,5 s időintervallumban
s(t)=(-1)n[v0(t-n0,5 s)+(a/2)(t-n0,5 s)2]
ahol v0=1,5  m/s és a=6 m/s2 értékek a sebesség‐idő grafikonból leolvashatók. A gyorsulás‐idő grafikon a 2. ábrán látható.
 
 

2. ábra
 

 

Számítsuk ki a nyomást a szelep fölött (p1) és alatt (p2)! Ha a szelep fölött h magasságú vízoszlop van, amelynek gyorsulása a (a iránya felfelé pozitív), akkor Newton II. törvénye alapján
p1A-p0A-hAϱg=hAϱa,(1)
ahol A a cső keresztmetszete, ϱ a víz sűrűsége, p0 a külső nyomás. (1)-ből
p1=p0+hϱ(g+a).(2)

A szelep alatti gyorsított víz tömege HAϱ. Most erre a víztömegre írjuk fel Newton II. törvényét:
p0A+(H-s)Aϱg-ϱHAg-p2A=HAϱa.(3)



Az egyenlet bal oldalának második tagja a szelep alatti vízre ható felhajtóerő. (3)-ból
p2=p0-(sg+aH)ϱ.(4)

Ha a mozgás folyamán van olyan időpont, amikor p1<p2, akkor a szelepen keresztül további víz áramlik a szelep fölé, tehát a szelep fölött a víz magassága még nő. Ha viszont a mozgás során végig teljesül a p1p2 egyenlőtlenség, akkor a szelep fölött a víz magassága nem emelkedik tovább, h eléri a maximális értéket. (2) és (4) alapján a p1p2 egyenlőtlenség így írható:
p0+hϱ(g+a)p0-(sg+aH)ϱ,
azaz
h-sg+aHg+a.(5)

Ezért a szelep fölötti vízoszlop magasságának maximális értéke (5) jobb oldalának az összes t értékre vett maximuma:
hmax=maxt[-s(t)g+a(t)Hg+a(t)].(6)
Ugyanis h<hmax esetén a fentiek szerint van olyan időpillanat, amikor p1<p2, így ekkor a vízoszlop magassága tovább nő. Viszont h=hmax esetén a mozgás folyamán már végig teljesül a p1p2 egyenlőtlenség, ezért a vízszint tovább nem emelkedhet a szelep fölött.
 

Az út‐idő és gyorsulás‐idő grafikonok alapján könnyen kiszámolható, hogy azokon a szakaszokon, ahol a=-6 m/s2, (5) jobb oldalának maximális értéke negatív, ahol pedig a=6 m/s2, ott (5) jobb oldalának maximális értéke 2,25 m. Eszerint hmax=2,25 m.
 
 Benyó Zoltán (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)