Feladat:	1803. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fóris Zoltán ,  Frei Zsolt ,  Gyuricza Béla ,  Marth Gábor ,  Náray Miklós ,  Sczigel Gábor ,  Somlói József ,  Tóth Gábor
Füzet:	1983/április, 182 - 183. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/október: 1803. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Írjuk fel a rendszerre az energiamegmaradás törvényét! A rendszer kezdeti potenciális energiája hosszabb idő után teljes egészében mozgási energiává alakul. Tudjuk, hogy az egymástól $a$ távolságra elhelyezkedő $q$ töltések potenciális energiája $k{q}^2/a$, így az energiamegmaradás törvénye alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\frac{k{q}^2}{a}+2\frac{k{q}^2}{a\sqrt[]{2}}=2\cdot \frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+2\cdot \frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2\mathrm{,}}\end{array}$ (1) ahol $k=9\cdot {10}^9{\text{ Nm}}^2/{\text{C}}^2$, $a$ a négyzet oldalhossza, $v_1$ az $m_1$, $v_2$ az $m_2$ tömegű test végsebessége. Igaz az impulzusmegmaradás törvénye is, de ezt most nem tudjuk felhasználni, mert nem ismerjük a végsebességek irányát. A feladatot tehát a szokásos módon nem tudjuk megoldani. Az $m_1=2000m_2$ adat felhasználásával azonban elegendően pontos közelítő eredményhez jutunk. A négy test töltése azonos, így a rájuk ható erők kezdetben megegyeznek. Ezért Newton törvénye alapján az $m_2$ tömegű testek kezdeti gyorsulása az $m_1$ tömegű testek gyorsulásának $2000$-szerese lesz. Emiatt a mozgás úgy zajlik le, hogy az $m_2$ tömegű testek aránylag rövid idő alatt igen nagy távolságra kerülnek az eredeti helyzetüktől, míg az $m_1$ tömegű testek eközben alig mozdulnak el. Ebben a pillanatban az $m_2$ tömegű testek sebessége jó közelítéssel $v_2$-nek, az $m_1$ tömegű testek sebessége pedig nullának tekinthető. Ekkor az energiamegmaradás törvénye értelmében: $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\frac{k{q}^2}{a}+2\frac{k{q}^2}{a\sqrt[]{2}}=\frac{k{q}^2}{a}+2\cdot \frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle v_2=\sqrt[]{3+\sqrt[]{2}}\sqrt[]{\frac{k{q}^2}{a{m}_2}}=\frac{3\sqrt[]{3+\sqrt[]{2}}\cdot {10}^{3}q}{\sqrt[]{a{m}_2}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ennek felhasználásával (1) alapján meghatározhatjuk $v_1$-et: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1=\sqrt[]{\frac{k{q}^2}{2000a{m}_2}}=\frac{3\cdot {10}^{2}q}{\sqrt[]{20a{m}_2}}\mathrm{.}}\end{array}$ $v_1$-et az előző gondolatmenetet folytatva is kiszámolhatjuk. Ha ugyanis az $m_2$ tömegű testek már elég nagy távolságra vannak, hatásuktól eltekinthetünk. Így elég az $m_1$ tömegű testeket vizsgálni. Igaz rájuk az energiamegmaradás törvénye: $\begin{array}{c}{\displaystyle k{q}^2/a=2\cdot \left(1/2\right)\cdot m_1{v}_1^2\mathrm{.}}\end{array}$ Innen $v_1$-re az előbbi eredményt kapjuk.    Sczigel Gábor (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., IV. o. t.)