Feladat: 1803. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Fóris Zoltán ,  Frei Zsolt ,  Gyuricza Béla ,  Marth Gábor ,  Náray Miklós ,  Sczigel Gábor ,  Somlói József ,  Tóth Gábor 
Füzet: 1983/április, 182 - 183. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pontrendszerek mozgásegyenletei, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/október: 1803. fizika feladat

Négy +q töltésű testet rögzítünk egy négyzet csúcsaiban, majd a rögzítést elengedjük (lásd az ábrát). Mekkora lesz az egyes testek sebessége hosszabb idő után? (A tömegek aránya: m1=2000m2.)
 

1803. ábra
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.


Írjuk fel a rendszerre az energiamegmaradás törvényét! A rendszer kezdeti potenciális energiája hosszabb idő után teljes egészében mozgási energiává alakul. Tudjuk, hogy az egymástól a távolságra elhelyezkedő q töltések potenciális energiája kq2/a, így az energiamegmaradás törvénye alapján
4kq2a+2kq2a2=212m1v12+212m2v22,(1)
ahol k=9109  Nm2/C2, a a négyzet oldalhossza, v1 az m1, v2 az m2 tömegű test végsebessége.
Igaz az impulzusmegmaradás törvénye is, de ezt most nem tudjuk felhasználni, mert nem ismerjük a végsebességek irányát. A feladatot tehát a szokásos módon nem tudjuk megoldani. Az m1=2000m2 adat felhasználásával azonban elegendően pontos közelítő eredményhez jutunk. A négy test töltése azonos, így a rájuk ható erők kezdetben megegyeznek. Ezért Newton törvénye alapján az m2 tömegű testek kezdeti gyorsulása az m1 tömegű testek gyorsulásának 2000-szerese lesz. Emiatt a mozgás úgy zajlik le, hogy az m2 tömegű testek aránylag rövid idő alatt igen nagy távolságra kerülnek az eredeti helyzetüktől, míg az m1 tömegű testek eközben alig mozdulnak el. Ebben a pillanatban az m2 tömegű testek sebessége jó közelítéssel v2-nek, az m1 tömegű testek sebessége pedig nullának tekinthető. Ekkor az energiamegmaradás törvénye értelmében:
4kq2a+2kq2a2=kq2a+212m2v22.(2)
Innen
v2=3+2kq2am2=33+2103qam2.
Ennek felhasználásával (1) alapján meghatározhatjuk v1-et:
v1=kq22000am2=3102q20am2.

v1-et az előző gondolatmenetet folytatva is kiszámolhatjuk. Ha ugyanis az m2 tömegű testek már elég nagy távolságra vannak, hatásuktól eltekinthetünk. Így elég az m1 tömegű testeket vizsgálni. Igaz rájuk az energiamegmaradás törvénye:
kq2/a=2(1/2)m1v12.
Innen v1-re az előbbi eredményt kapjuk.
 

 Sczigel Gábor (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., IV. o. t.)