Kezdőlap


Feladat:	1789. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almássy Tamás , Árkossy Ottó , Náray Miklós , Pintér Gábor , Szállási Zoltán
Füzet:	1983/január, 42 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vastag lencse, Mikroszkóp, Távcsövek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/május: 1789. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A Kepler‐távcső két gyűjtőlencséből álló eszköz, amelyeknek távolsága $l = f_{1} + f_{2}$ , ahol $f_{1}$ és $f_{2}$ a lencsék fókusztávolságai (1. ábra).

1. ábra

Egy ilyen távcső szögnagyítása

\begin{matrix} N_{s z} = f_{1} / f_{2} \approx α_{2} / α_{1} . \end{matrix}

Hasonló eszköz készíthető egy darab vastag lencséből is (2. ábra).

2. ábra

Ha az üveg törésmutatója

n

, akkor az 1773. feladat szerint

\begin{matrix} f_{1} = r_{1} \frac{n}{n - 1}, f_{2} = r_{2} \frac{n}{n - 1} . \end{matrix}

A szögnagyítás:

\begin{matrix} N_{s z} = f_{1} / f_{2} = r_{1} / r_{2} . \end{matrix}

A lencse

d

vastagságára pedig

\begin{matrix} d = f_{1} + f_{2} = \frac{n}{n - 1} (r_{1} + r_{2}) \end{matrix}

adódik.
b) A mikroszkóp esetében az 1. tárgylencse a

T

tárgyról a

K

nagyított valódi képet állítja elő, amit a 2. szemlencsével mint nagyítóval nézünk. Így végeredményben a

K'

virtuális képet látjuk (3. ábra).

3. ábra

Az ábra alapján világos, hogy ez csak akkor lesz így, ha a

t

tárgytávolságra az

f_{1} < t < 2 f_{2}

, az 1. lencse által előállított

K

képnek a 2. lencsétől való

t'

távolságára pedig a

t' < f_{2}

feltétel teljesül.
Nézzük meg, hogy lehet-e készíteni az eddig elmondott tulajdonságokkal rendelkező vastag lencsét (4. ábra)?

4. ábra

Érkezzenek a fénysugarak az ábrán jelzett irányból, ekkor a lencse

r_{1}

sugarú felületétől

t

távolságra elhelyezett

T

tárgyról az 1. felület az 1773. feladat megoldása szerint olyan

k

távolságra levő

K

képet ad, amelyre

\begin{matrix} \frac{1}{f_{1} \cdot f_{2}} = \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{f_{2}} + \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{f_{1}}, \end{matrix}

(1)

ahol

\begin{matrix} f_{1} = \frac{r_{1}}{n - 1}, f_{2} = \frac{r_{1} \cdot n}{n - 1} . \end{matrix}

(2)

Az ábra alapján a nagyítás

\begin{matrix} N_{1} = \frac{K}{T} = \frac{f_{1}}{t - f_{1}} > 1, ha f_{1} < t < 2 f_{1}, \end{matrix}

(3)

a képtávolság pedig (1)-ből

\begin{matrix} 1 / k = (1 / f_{2}) (1 - f_{1} / t) > 0, hiszen t > f_{1} . \end{matrix}

(4)

Tehát

f_{1} < t < 2 f_{1}

esetén a vastag lencse 1. felülete a

T

tárgyról valódi, nagyított, fordított állású

K

képet ad.
Legyen ennek a távolsága a 2. felülettől

t'

, ekkor a 2. felület

K

-t

K'

-be képezi le, és (1)-hez hasonlóan érvényes, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{f'_{1} f'_{2}} = \frac{1}{t' f'_{1}} + \frac{1}{k' f'_{2}}, f'_{1} = \frac{r_{2}}{n - 1}, f'_{2} = \frac{r_{2} n}{n - 1}, \end{matrix}

(5)

ahonnan

\begin{matrix} \frac{1}{k'} = \frac{1}{f'_{1}} (1 - \frac{f'_{2}}{t'}) < 0, ha t' < f'_{2}, \end{matrix}

(6)

tehát ebben az esetben

K'

virtuális.
A nagyítás a 4. ábra alapján

\begin{matrix} N_{2} = \frac{K'}{K} = \frac{f'_{1} + | k' |}{f'_{1}} \end{matrix}

(7)

A mikroszkópnál megköveteljük, hogy a

K'

kép a tisztánlátás távolságában,

- k' = l

távolságban keletkezzék. Ezzel az egy lencséből álló "mikroszkópunk'' teljes nagyítása (3) és (7) alapján

\begin{matrix} N = N_{1} \cdot N_{2} = (\frac{f_{1}}{t - f_{1}}) \cdot (\frac{f'_{1} + l}{f'_{1}}) = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot \frac{l (n - 1) + r_{2}}{t (n - 1) - r_{1}} . \end{matrix}

Lencsénk

d

távolságát úgy kell megválasztanunk, hogy

\begin{matrix} k + t' = d \end{matrix}

(8)

legyen. Az (5) egyenletbe

- k' = l

-et helyettesítve

\begin{matrix} t = \frac{f'_{2} \cdot l}{l + f'_{1}} \end{matrix}

adódik, (4)-ből pedig

k = \frac{t f_{2}}{t - f_{1}}

. Ezeket (8)-ba írva

\begin{matrix} d = \frac{f_{2} t}{t - f_{1}} + \frac{f'_{2} l}{l + f'_{1}} = \frac{r_{1} n t}{t (n - 1) - r_{1}} + \frac{r_{2} n l}{l (n - 1) + r_{2}} . \end{matrix}

(9)

Tehát ha lencsénk vastagságát (9) szerint,

n

-et és

r_{1}

- et pedig úgy választjuk meg, hogy

t (n - 1) - r_{1} > 0

legyen, akkor mikroszkópként működő eszközt kapunk. (A fennmaradó

r_{2}

szabad paraméterrel eszközünk nagyítását választhatjuk meg.)