Feladat: 1789. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Almássy Tamás ,  Árkossy Ottó ,  Náray Miklós ,  Pintér Gábor ,  Szállási Zoltán 
Füzet: 1983/január, 42 - 44. oldal  PDF file
Témakör(ök): Vastag lencse, Mikroszkóp, Távcsövek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/május: 1789. fizika feladat

Lehet-e egyetlen darab üvegből távcsövet készíteni? És mikroszkópot?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A Kepler‐távcső két gyűjtőlencséből álló eszköz, amelyeknek távolsága l=f1+f2, ahol f1 és f2 a lencsék fókusztávolságai (1. ábra).

 

1. ábra
 
Egy ilyen távcső szögnagyítása
Nsz=f1/f2α2/α1.
Hasonló eszköz készíthető egy darab vastag lencséből is (2. ábra).
 

2. ábra
 
Ha az üveg törésmutatója n, akkor az 1773. feladat szerint
f1=r1nn-1,f2=r2nn-1.
A szögnagyítás:
Nsz=f1/f2=r1/r2.
A lencse d vastagságára pedig
d=f1+f2=nn-1(r1+r2)
adódik.
b) A mikroszkóp esetében az 1. tárgylencse a T tárgyról a K nagyított valódi képet állítja elő, amit a 2. szemlencsével mint nagyítóval nézünk. Így végeredményben a K' virtuális képet látjuk (3. ábra).
 

3. ábra
 
Az ábra alapján világos, hogy ez csak akkor lesz így, ha a t tárgytávolságra az f1<t<2f2, az 1. lencse által előállított K képnek a 2. lencsétől való t' távolságára pedig a t'<f2 feltétel teljesül.
Nézzük meg, hogy lehet-e készíteni az eddig elmondott tulajdonságokkal rendelkező vastag lencsét (4. ábra)?
 

4. ábra
 
Érkezzenek a fénysugarak az ábrán jelzett irányból, ekkor a lencse r1 sugarú felületétől t távolságra elhelyezett T tárgyról az 1. felület az 1773. feladat megoldása szerint olyan k távolságra levő K képet ad, amelyre
1f1f2=1t1f2+1k1f1,(1)
ahol
f1=r1n-1,f2=r1nn-1.(2)
Az ábra alapján a nagyítás
N1=KT=f1t-f1>1,haf1<t<2f1,(3)
a képtávolság pedig (1)-ből
1/k=(1/f2)(1-f1/t)>0,hiszent>f1.(4)
Tehát f1<t<2f1 esetén a vastag lencse 1. felülete a T tárgyról valódi, nagyított, fordított állású K képet ad.
Legyen ennek a távolsága a 2. felülettől t', ekkor a 2. felület K-t K'-be képezi le, és (1)-hez hasonlóan érvényes, hogy
1f'1f'2=1t'f'1+1k'f'2,f'1=r2n-1,f'2=r2nn-1,(5)
ahonnan
1k'=1f'1(1-f'2t')<0,hat'<f'2,(6)
tehát ebben az esetben K' virtuális.
A nagyítás a 4. ábra alapján
N2=K'K=f'1+|k'|f'1(7)

A mikroszkópnál megköveteljük, hogy a K' kép a tisztánlátás távolságában, -k'=l távolságban keletkezzék. Ezzel az egy lencséből álló "mikroszkópunk'' teljes nagyítása (3) és (7) alapján
N=N1N2=(f1t-f1)(f'1+lf'1)=r1r2l(n-1)+r2t(n-1)-r1.
Lencsénk d távolságát úgy kell megválasztanunk, hogy
k+t'=d(8)
legyen. Az (5) egyenletbe -k'=l-et helyettesítve
t=f'2ll+f'1
adódik, (4)-ből pedig k=tf2t-f1. Ezeket (8)-ba írva
d=f2tt-f1+f'2ll+f'1=r1ntt(n-1)-r1+r2nll(n-1)+r2.(9)
Tehát ha lencsénk vastagságát (9) szerint, n-et és r1- et pedig úgy választjuk meg, hogy t(n-1)-r1>0 legyen, akkor mikroszkópként működő eszközt kapunk. (A fennmaradó r2 szabad paraméterrel eszközünk nagyítását választhatjuk meg.)