Feladat:	1752. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Benyó Zoltán ,  Erdős László ,  Fáth Gábor ,  Horváth Péter ,  Kalocsai Tibor ,  Megyesi Gábor ,  Szabó Ádám ,  Vereb György
Füzet:	1982/szeptember, 40 - 42. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Súrlódás, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Impulzusváltozás törvénye (Pontrendszer impulzusa), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/január: 1752. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tekintsük a kiskocsikon levő testeket pontszerűeknek és használjuk az 1. ábrán megadott jelöléseket ($S_1\mathrm{,}{S}_2$ a súrlódási erők, $F$ az 1. kiskocsira ható erő).   1. ábra   Azzal az esettel fogunk foglalkozni, amikor az $F$ erő az ábrán megadott irányba (jobbra) mutat. A két $m$ tömegű test kötéllel van összekötve, és mivel az 1. kiskocsin levő tömeg húzza a 2. kiskocsin levő tömeget, gyorsulásuk $\left(a\right)$ megegyezik. Az $F$ erő az 1. kiskocsira hat, az $S_1$ súrlódási erő gyorsítja a rajta levő $m$ tömegű testet, amely a másik $m$ tömegű testet kötéllel húzza. A test és a 2. kiskocsi között fellépő $S_2$ súrlódási erő gyorsítja a 2. kiskocsit. Ebből következik, hogy a gyorsulásokra: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1\ge a\ge a_2}\end{array}$ ($a_1$ és $a_2$ az 1., ill. 2. kiskocsi gyorsulása). Az $S_r$ tapadási súrlódási erőre igaz, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle S_r\le S_M=\mu mg\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $S_M$ a mozgási súrlódási erő. Mivel a kötéllel húzzuk a 2. kiskocsit, a kötélben ható erő mindig kisebb vagy egyenlő, mint az egyes testeket gyorsító súrlódási erő. Ebből az következik, hogy ha az 1. kiskocsin levő test a kiskocsihoz képest nem mozdul el, akkor a 2. kiskocsin levő test is állni fog a kiskocsihoz képest; ha pedig az 1. kiskocsin levő test már csúszik, akkor a 2. kiskocsin levő test áll, a kiskocsihoz képest, hiszen a kötél feszes (az gyorsítja a 2. kiskocsit), és így az 1. kiskocsin levő testre ható $S_1=\mu mg$ súrlódási erő nagyobb kell, hogy legyen a 2. kiskocsin levő testre ható $S_2$ súrlódási erőnél. Ezeket az eseteket fogjuk az alábbiakban tárgyalni. Tegyük fel először, hogy az 1. kiskocsin nem csúszik meg az $m$ tömegű test és így a 2. kiskocsin sem csúszik a test. Az 1. kiskocsi és a rajta levő test mozgásegyenletei: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle F-S_1=M{a}_1\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle S_1-K=ma\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\end{array}}$ ahol $K$ a kötélerő. Mivel a test nem csúszik az 1. kiskocsin, azért $\begin{array}{c}{\displaystyle a=a_1\mathrm{,}}\end{array}$ és teljesülnie kell az $\begin{array}{c}{\displaystyle S_1\le \mu mg}\end{array}$ (3) feltételnek. A 2. test sem csúszhat, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle a_2=a\mathrm{.}}\end{array}$ A rendszer gyorsulása: $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{F}{2\left(M+m\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ (4) Ezt beírva (1)-be $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu mg\ge S_1=F-Ma=F\frac{2m+M}{2\left(M+m\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu mg\ge F\frac{2m+M}{2\left(M+m\right)}}\end{array}$ (5) Ha ez a feltétel $F$-re nem teljesül, az 1. kiskocsin levő test megcsúszik (ellenkező esetben ugyanis $S_1>\mu mg$ adódnék, ami lehetetlen), és a rá ható súrlódási erő $S_1=\mu mg$, az 1. kiskocsi gyorsulása pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1=\frac{F-\mu mg}{M}\mathrm{.}}\end{array}$ (6) A 2. kiskocsin levő test nem csúszik meg, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle a=a_2\mathrm{.}}\end{array}$ Az $m$ tömegű testekre és a 2. kiskocsira felírjuk a mozgásegyenleteket $\left(a=a_2\right)$: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu mg-K=ma\mathrm{,}K-S_2=ma\mathrm{,}{S}_2=Ma\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle a_2=a=\frac{\mu mg}{2m+M}\mathrm{.}}\end{array}$ (7) Ebben az esetben az $1$. kiskocsiról történő lecsúszás ideje: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\sqrt[]{\frac{2l}{a_1-a}}\mathrm{.}}\end{array}$ (6) és (7)-et beírva kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\sqrt[]{\frac{2l\left(2m+M\right)M}{F\left(2m+M\right)-g\mu m2\left(m+M\right)}}\mathrm{.}}\end{array}$ (8) Ábrázolva az összefüggéseket, a 2. ábrán látható grafikonokat kapjuk.     2. ábra      Szabó Ádám (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., II. o. t.) és  Horváth Péter (Gyöngyös, Berze Nagy J. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján   Megjegyzés. Ha az $F$ erő a 2. kiskocsi irányába mutat, szintén két esetet különböztethetünk meg. Egyik esetben $m$ nem csúszik meg az 1. kocsin (ekkor a 2. kocsi és a rajta levő $m$ tömeg nem gyorsul), ennek feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu mg>\frac{m}{m+M}F\mathrm{.}}\end{array}$ (9) Ekkor a fentiekhez hasonlóan számolva, $\begin{array}{c}{\displaystyle t_1=\sqrt[]{\frac{2\left(d-2l\right)\left(m+M\right)}{F}}}\end{array}$ idő múlva a kocsik ütköznek, a feladat szövegéből az ütközés milyenségére nem következtethetünk. Ha (9) nem teljesül, akkor az $m$ tömeg rögtön leesik az 1. kocsiról, s a kocsik $\begin{array}{c}{\displaystyle t_2=\sqrt[]{\frac{2\left(d-2l\right)M}{F}}}\end{array}$ idő múlva ütköznek.