Feladat: 1752. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Benyó Zoltán ,  Erdős László ,  Fáth Gábor ,  Horváth Péter ,  Kalocsai Tibor ,  Megyesi Gábor ,  Szabó Ádám ,  Vereb György 
Füzet: 1982/szeptember, 40 - 42. oldal  PDF file
Témakör(ök): Súrlódás, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Impulzusváltozás törvénye (Pontrendszer impulzusa), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/január: 1752. fizika feladat

Az ábrán látható két, egyenként M tömegű, l hosszúságú kiskocsin egy-egy m tömegű test nyugszik, amelyeket d hosszúságú fonál köt össze. A súrlódási együttható a kiskocsik és az m tömegű testek között μ. A jobb oldali kiskocsira F vízszintes erővel hatunk. Adjuk meg a második kocsi gyorsulását az F erő függvényében! Mennyi idő múlva esik le az első kiskocsiról a rajta levő test?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a kiskocsikon levő testeket pontszerűeknek és használjuk az 1. ábrán megadott jelöléseket (S1,S2 a súrlódási erők, F az 1. kiskocsira ható erő).
 

1. ábra
 

Azzal az esettel fogunk foglalkozni, amikor az F erő az ábrán megadott irányba (jobbra) mutat. A két m tömegű test kötéllel van összekötve, és mivel az 1. kiskocsin levő tömeg húzza a 2. kiskocsin levő tömeget, gyorsulásuk (a) megegyezik. Az F erő az 1. kiskocsira hat, az S1 súrlódási erő gyorsítja a rajta levő m tömegű testet, amely a másik m tömegű testet kötéllel húzza. A test és a 2. kiskocsi között fellépő S2 súrlódási erő gyorsítja a 2. kiskocsit. Ebből következik, hogy a gyorsulásokra:
a1aa2
(a1 és a2 az 1., ill. 2. kiskocsi gyorsulása). Az Sr tapadási súrlódási erőre igaz, hogy
SrSM=μmg,
ahol SM a mozgási súrlódási erő. Mivel a kötéllel húzzuk a 2. kiskocsit, a kötélben ható erő mindig kisebb vagy egyenlő, mint az egyes testeket gyorsító súrlódási erő. Ebből az következik, hogy ha az 1. kiskocsin levő test a kiskocsihoz képest nem mozdul el, akkor a 2. kiskocsin levő test is állni fog a kiskocsihoz képest; ha pedig az 1. kiskocsin levő test már csúszik, akkor a 2. kiskocsin levő test áll, a kiskocsihoz képest, hiszen a kötél feszes (az gyorsítja a 2. kiskocsit), és így az 1. kiskocsin levő testre ható S1=μmg súrlódási erő nagyobb kell, hogy legyen a 2. kiskocsin levő testre ható S2 súrlódási erőnél.
Ezeket az eseteket fogjuk az alábbiakban tárgyalni.
Tegyük fel először, hogy az 1. kiskocsin nem csúszik meg az m tömegű test és így a 2. kiskocsin sem csúszik a test. Az 1. kiskocsi és a rajta levő test mozgásegyenletei:
F-S1=Ma1,(1)S1-K=ma,(2)


ahol K a kötélerő. Mivel a test nem csúszik az 1. kiskocsin, azért
a=a1,
és teljesülnie kell az
S1μmg(3)
feltételnek. A 2. test sem csúszhat, ezért
a2=a.


A rendszer gyorsulása:
a=F2(M+m).(4)
Ezt beírva (1)-be
μmgS1=F-Ma=F2m+M2(M+m),
tehát
μmgF2m+M2(M+m)(5)

Ha ez a feltétel F-re nem teljesül, az 1. kiskocsin levő test megcsúszik (ellenkező esetben ugyanis S1>μmg adódnék, ami lehetetlen), és a rá ható súrlódási erő S1=μmg, az 1. kiskocsi gyorsulása pedig
a1=F-μmgM.(6)
A 2. kiskocsin levő test nem csúszik meg, tehát
a=a2.

Az m tömegű testekre és a 2. kiskocsira felírjuk a mozgásegyenleteket (a=a2):
μmg-K=ma,K-S2=ma,S2=Ma.
Ebből
a2=a=μmg2m+M.(7)
Ebben az esetben az 1. kiskocsiról történő lecsúszás ideje:
t=2la1-a.
(6) és (7)-et beírva kapjuk:
t=2l(2m+M)MF(2m+M)-gμm2(m+M).(8)
Ábrázolva az összefüggéseket, a 2. ábrán látható grafikonokat kapjuk.
 

 

2. ábra
 

 

 Szabó Ádám (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., II. o. t.) és
 Horváth Péter (Gyöngyös, Berze Nagy J. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján
 

Megjegyzés. Ha az F erő a 2. kiskocsi irányába mutat, szintén két esetet különböztethetünk meg. Egyik esetben m nem csúszik meg az 1. kocsin (ekkor a 2. kocsi és a rajta levő m tömeg nem gyorsul), ennek feltétele:
μmg>mm+MF.(9)

Ekkor a fentiekhez hasonlóan számolva,
t1=2(d-2l)(m+M)F
idő múlva a kocsik ütköznek, a feladat szövegéből az ütközés milyenségére nem következtethetünk. Ha (9) nem teljesül, akkor az m tömeg rögtön leesik az 1. kocsiról, s a kocsik
t2=2(d-2l)MF
idő múlva ütköznek.