Feladat: 1717. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bakonyi Gábor ,  Hudi István ,  Kaptás Dénes 
Füzet: 1981/december, 236. oldal  PDF file
Témakör(ök): Elektrolízis, beta-sugárzás, Exponenciális bomlástörvény, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/május: 1717. fizika feladat

10 mm sugarú ólomgömböt elektrolízis útján 10 nm vastagságú nikkellel vonunk be. A nikkelt előzőleg atommáglya belsejében kezelték, ezért az atomok egy része 125 év felezési idejű β-sugárzó 2863Ni izotóppá vált. A golyó megmért aktivitása 105 Bq. A gömböt szigetelő fonálon 10 cm sugarú fémből készített földelt gömbhéj középpontjába helyezzük és a gömbből a levegőt kiszivattyúzzuk. Mennyi idő alatt emelkedik a gömb potenciálja 10 V-tal? A nikkelatomok hány százaléka vált radioaktívvá az atommáglyában?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Számítsuk ki először, hogy hány elektronnak kell elhagynia a kis gömböt ahhoz, hogy 10 V-tal emelkedjék a potenciálja. A gömbkondenzátor kapacitása:

C=4πε0RrR-r=1,23 pF.
A gömböt elhagyó elektronok töltése Q=CU=1,2310-11 C. Ezt a töltést egy elektron töltésével elosztva megkapjuk az elektronok számát:
n=1,2310-11C1,610-19C=7,68107.
A gömb mért aktivitása 105 Bq, tehát a mérés idején 105 elektron hagyta el a gömböt másodpercenként. Ez a mennyiség pár perces időintervallumban állandónak tekinthető, mert a felezési idő elég nagy. A 10 V-os potenciálemelkedéshez szükséges idő:
t=7,68107105s=768s.

Nézzük most meg, hány radioaktív nikkelatom került az ólomgömbbe. A nikkelréteg vastagsága nagyságrendekkel kisebb, mint az ólomgömb sugara, így a vékony nikkelrétegből kilépő elektronok fele hagyja el a gömböt, a másik fele a golyó belseje felé indul, és az ólomban gyakorlatilag teljesen elnyelődik. Ezért a golyó mért aktivitása csak fele a nikkel teljes aktivitásának. A golyó aktivitása I=βN0e-βt. Jelöljük T-vel a felezési időt. Ekkor e-βT=0,5, innen β=T-1ln2=1,7510-10 l/s. A golyó kezdeti aktivitása I=βN0, a radioaktív atomok száma tehát
N0=Iβ=2105Bq1,7510-10l/s=1,1431015.
Az ólomgömb felülete: A=4πr2=1,2610-3 m2. A nikkelréteg térfogata: V=A10 mm = 1,2610-11m3, tömege pedig m=V 8900 kg/m3 = 1,12 10-7 kg. A nikkel grammatomsúlynyi mennyisége 58,7 g, így az összes nikkelatom száma
N=1,1210-7kg58,7 g61023=1,151018.
Tehát
N0N=1,14310151,15101810-3=0,1%
a radioaktív nikkelatomok aránya.
 

 Kaptás Dénes (Nagykőrös, Arany J. Gimn., IV. o. t.)
 dolgozata alapján