Kezdőlap


Feladat:	1707. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Gábor , Sczigel Gábor
Füzet:	1981/november, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/április: 1707. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mozgás első, $t_{1}$ ideig tartó szakasza egy rugalmatlan ütközés. Mivel $t_{1}$ nem tekinthető nullának, így nem hanyagolhatók el az ütközés közben a testekre ható külső erők, és nem hanyagolható el a testek elmozdulása. $t_{1}$ idő alatt a rúd a tartályhoz képest megáll, utána a testek azonos gyorsulással mozognak.
Legyen $S$ a homok és a rúd között ható (ismert nagyságú) súrlódási erő, $K$ a kötélerő, $A$ az $M$ tömegű test és a nyilván ugyancsak $M$ tömegű homoktartály, $a$ az $m$ tömegű rúd gyorsulása.

Ekkor

t < t_{1}

esetén a következő mozgásegyenletek érvényesek:

\begin{matrix} m a = m g - S, & (1) \\ M A = K - M g, & (2) \\ M A = M g - K + S . & (3) \end{matrix}

Ezekből a tartály gyorsulása

A = S / (2 M)

, elmozdulása

\begin{matrix} s = (1 / 2) A t^{2} = [S / (4 M)] t^{2} . \end{matrix}

(4)

t_{1}

-et abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy a

t_{1}

időpillanatban a tartály és a rúd sebessége azonos:

\begin{matrix} A t_{1} = v_{0} + a t_{1}, \end{matrix}

(5)

ahol

v_{0} = \sqrt[]{2 g h}

a rúd sebessége abban a pillanatban, amikor eléri a homok felszínét.

a

és

A

értékét beírva, (5)-ből

t_{1}

-et kiszámíthatjuk:

\begin{matrix} t_{1} = \frac{2 m M v_{0}}{S (m + 2 M) - 2 m M g} . \end{matrix}

(6)

Ez az eredmény csak akkor értelmes, ha

t_{1} > 0

, azaz

S > 2 M m g / (2 M + m)

. Ellenkező esetben a súrlódás olyan gyenge, hogy a rúd a nehézségi erő hatására tovább gyorsul a homokhoz képest, eléri a tartály alját, és így tárgyalásunk érvényét veszti.
A

t = t_{1}

időpontban a tartály sebessége és elmozdulása

v_{1} = A t_{1}

és

s_{1} = (1 / 2) A t_{1}^{2}

. Ha

t > t_{1}

, a következő mozgásegyenletek érvényesek (a homoktartály és a rúd egyetlen merev testet alkot).

\begin{matrix} (M + m) A' = (M + m) g - K, & (7) \\ M A' = K - M g, & (8) \end{matrix}

ahol

A'

a testek azonos gyorsulása. Innen

\begin{matrix} A' = \frac{m}{2 M + m} g, \end{matrix}

(9)

a tartály elmozdulása pedig

\begin{matrix} s = s_{1} + v_{1} (t - t_{1}) + (1 / 2) A' {(t - t_{1})}^{2} . \end{matrix}

(10)

A részeredmények behelyettesítésével

s

a tömegek,

S

és

v_{0}

(vagy

h

) függvényében meghatározható.

Sczigel Gábor (Budapest, Apáczai Cs. J. Gyak. Gimn. II. o. t.)