Feladat: 1707. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Horváth Gábor ,  Sczigel Gábor 
Füzet: 1981/november, 182 - 183. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pontrendszerek mozgásegyenletei, Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/április: 1707. fizika feladat

Csigán átvetett kötél két végén egyensúlyban van egy homokkal teli tartály és a M tömegű test. A tartályra h magasságból ráejtünk egy m tömegű tömör rudat, amely belefúródik a tartályba és megáll. Mennyit süllyed a tartály t idő alatt (t-t a rúd és a homok érintkezésének pillanatától mérjük)? Tegyük fel, hogy a rúdra ható súrlódási erő állandó és ismert.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mozgás első, t1 ideig tartó szakasza egy rugalmatlan ütközés. Mivel t1 nem tekinthető nullának, így nem hanyagolhatók el az ütközés közben a testekre ható külső erők, és nem hanyagolható el a testek elmozdulása. t1 idő alatt a rúd a tartályhoz képest megáll, utána a testek azonos gyorsulással mozognak.
Legyen S a homok és a rúd között ható (ismert nagyságú) súrlódási erő, K a kötélerő, A az M tömegű test és a nyilván ugyancsak M tömegű homoktartály, a az m tömegű rúd gyorsulása.


Ekkor t<t1 esetén a következő mozgásegyenletek érvényesek:
ma=mg-S,(1)MA=K-Mg,(2)MA=Mg-K+S.(3)


Ezekből a tartály gyorsulása A=S/(2M), elmozdulása
s=(1/2)At2=[S/(4M)]t2.(4)

t1-et abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy a t1 időpillanatban a tartály és a rúd sebessége azonos:
At1=v0+at1,(5)
ahol v0=2gh a rúd sebessége abban a pillanatban, amikor eléri a homok felszínét. a és A értékét beírva, (5)-ből t1-et kiszámíthatjuk:
t1=2mMv0S(m+2M)-2mMg.(6)
Ez az eredmény csak akkor értelmes, ha t1>0, azaz S>2Mmg/(2M+m). Ellenkező esetben a súrlódás olyan gyenge, hogy a rúd a nehézségi erő hatására tovább gyorsul a homokhoz képest, eléri a tartály alját, és így tárgyalásunk érvényét veszti.
A t=t1 időpontban a tartály sebessége és elmozdulása v1=At1 és s1=(1/2)At12. Ha t>t1, a következő mozgásegyenletek érvényesek (a homoktartály és a rúd egyetlen merev testet alkot).
(M+m)A'=(M+m)g-K,(7)MA'=K-Mg,(8)


ahol A' a testek azonos gyorsulása. Innen
A'=m2M+mg,(9)
a tartály elmozdulása pedig
s=s1+v1(t-t1)+(1/2)A'(t-t1)2.(10)
A részeredmények behelyettesítésével s a tömegek, S és v0 (vagy h) függvényében meghatározható.
 
 Sczigel Gábor (Budapest, Apáczai Cs. J. Gyak. Gimn. II. o. t.)