Kezdőlap


Feladat:	1673. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth István , Kaptás Dénes , Oszlányi Gábor , Sárközi Imre , Szállási Zoltán
Füzet:	1981/április, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Impulzusmegmaradás törvénye, Rugalmas erő, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/november: 1673. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az áttekinthetőség kedvéért képzeljük a kiskocsikat kis tömegpontoknak, az ütköző rugóját pedig aránytalanul hosszúnak! A rendszer tömegközéppontjának sebessége $v_{0}$ .

\begin{matrix} (m_{1} + m_{2}) v_{0} = m_{1} v, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} v_{0} = \frac{m_{1} v}{m_{1} + m_{2}} = 1, 25 m/s . \end{matrix}

(1)

Térjünk át a tömegközépponthoz rögzített koordináta-rendszerre! Itt kezdetben az

m_{1}

tömegű kiskocsi

v_{1} = v - v_{0} = 0, 75 m/s

sebességgel jobbra, az

m_{2}

tömegű

v_{2} = v_{0} = 1, 25 m/s

sebességgel balra mozog. Könnyen beláthatjuk, hogy a két tömeg egymáshoz és a tömegközépponthoz viszonyítva is harmonikus rezgőmozgást végez. Fogjuk meg ugyanis képzeletben a rugót az

S

tömegközéppontban! Az

m_{1}

tömegű kocsi ekkor

\begin{matrix} l \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \end{matrix}

hosszúságú és így

D_{1} = D \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{2}}

direkciós erejű rugón végez rezgéseket, a rezgésidő

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{m_{1}}{D_{1}}} = 2 π \frac{m_{1} m_{2}}{D (m_{1} + m_{2})} = 1, 22 s . \end{matrix}

(2)

Az összefüggés

m_{1}

és

m_{2}

felcserélésére nem változik meg, tehát ugyanekkora

m_{1}

rezgésideje is; a két tömeg azonos fázisban mozog, így a rugót el is engedhetjük, a tömegközéppontban levő pontja nem mozdul el.
Az ütközés pillanatától a testek egy negyed periódusnyi rezgőmozgást végeznek addig, amíg a rugó deformációja maximális lesz. Az ehhez szükséges idő

\begin{matrix} T / 4 = 0, 304 s . \end{matrix}

(3)

Ez alatt a negyed periódus alatt

m_{2}

elmozdulása a tömegközépponthoz viszonyítva éppen rezgésének amplitúdójával egyezik meg. A maximális sebességre vonatkozó összefüggésből

v_{2} = A_{2} ω

, innen

\begin{matrix} A_{2} = \frac{v_{2}}{ω} = \frac{v_{2} T}{2 π} = 0, 24 m . \end{matrix}

(4)

A tömegközéppont elmozdulása

v_{0} (T / 4)

, így a rugó maximális deformációjáig

m_{2}

\begin{matrix} s_{2} = v_{0} (T / 4) - A_{2} = 0, 14 m \end{matrix}

(5)

utat tesz meg.
A teljes rugó maximális összenyomódását az energiamegmaradás törvényéből is könnyen megkaphatjuk:

\begin{matrix} (1 / 2) m_{1} v^{2} = (1 / 2) (m_{1} + m_{2}) v_{0}^{2} + (1 / 2) D {(A_{1} + A_{2})}^{2}, \end{matrix}

(6)

mivel a maximális deformáció pillanatában a két kocsi egymáshoz viszonyítva nem mozdul el.

(6)

-ból

A_{1} + A_{2} = 0, 39 m

A_{2} = (A_{1} + A_{2}) \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}

. Innen az a feltétel is következik, hogy a rugónak

39 cm

összenyomódást lehetővé kell tennie. Egy

3 kg

tömegű kiskocsi ütközőjétől ez meglehetősen szigorú követelmény.

Oszlányi Gábor (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Újabb negyed periódus után a két kiskocsi maximális sebességgel távolodik egymástól, és a teljes ütközés befejeződik. A sebességek ekkor

\begin{matrix} v'_{2} = v_{0} + v_{2} = 2 v_{0} = \frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v, v'_{1} = v_{0} - v_{1} = v_{0} - (v - v_{0}) = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v; \end{matrix}

Ezek pontosan azok a sebességek, amelyek egy rugalmas ütközés után adódnak. Számolásunk így egy rugalmas ütközés részletezett modelljének tekinthető.

Horváth István (Debrecen, KLTE Gyakorló Gimn., IV. o. t.)