Feladat: 1673. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Horváth István ,  Kaptás Dénes ,  Oszlányi Gábor ,  Sárközi Imre ,  Szállási Zoltán 
Füzet: 1981/április, 182 - 183. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pontrendszerek mozgásegyenletei, Impulzusmegmaradás törvénye, Rugalmas erő, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/november: 1673. fizika feladat

Egy v=2 m/s sebességű, 5 kg tömegű kiskocsi sínen halad és egy álló, 3 kg tömegű kiskocsinak ütközik. Az álló kocsin rugós ütköző van, amelynek direkciós ereje 50 N/ m. Mennyi idő múlva lesz az ütközés után a rugó deformációja maximális? Mekkora utat tett meg az ütközéstől számítva az álló kiskocsi a rugó maximális deformációjáig?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az áttekinthetőség kedvéért képzeljük a kiskocsikat kis tömegpontoknak, az ütköző rugóját pedig aránytalanul hosszúnak! A rendszer tömegközéppontjának sebessége v0.


(m1+m2)v0=m1v,
ahonnan
v0=m1vm1+m2=1,25m/s.(1)

Térjünk át a tömegközépponthoz rögzített koordináta-rendszerre! Itt kezdetben az m1 tömegű kiskocsi v1=v-v0=0,75m/s sebességgel jobbra, az m2 tömegű v2=v0=1,25m/s sebességgel balra mozog. Könnyen beláthatjuk, hogy a két tömeg egymáshoz és a tömegközépponthoz viszonyítva is harmonikus rezgőmozgást végez. Fogjuk meg ugyanis képzeletben a rugót az S tömegközéppontban! Az m1 tömegű kocsi ekkor
lm2m1+m2
hosszúságú és így D1=Dm1+m2m2 direkciós erejű rugón végez rezgéseket, a rezgésidő
T=2πm1D1=2πm1m2D(m1+m2)=1,22s.(2)
Az összefüggés m1 és m2 felcserélésére nem változik meg, tehát ugyanekkora m1 rezgésideje is; a két tömeg azonos fázisban mozog, így a rugót el is engedhetjük, a tömegközéppontban levő pontja nem mozdul el.
Az ütközés pillanatától a testek egy negyed periódusnyi rezgőmozgást végeznek addig, amíg a rugó deformációja maximális lesz. Az ehhez szükséges idő
T/4=0,304s.(3)

Ez alatt a negyed periódus alatt m2 elmozdulása a tömegközépponthoz viszonyítva éppen rezgésének amplitúdójával egyezik meg. A maximális sebességre vonatkozó összefüggésből v2=A2ω, innen
A2=v2ω=v2T2π=0,24m.(4)
A tömegközéppont elmozdulása v0(T/4), így a rugó maximális deformációjáig m2
s2=v0(T/4)-A2=0,14m(5)
utat tesz meg.
A teljes rugó maximális összenyomódását az energiamegmaradás törvényéből is könnyen megkaphatjuk:
(1/2)m1v2=(1/2)(m1+m2)v02+(1/2)D(A1+A2)2,(6)
mivel a maximális deformáció pillanatában a két kocsi egymáshoz viszonyítva nem mozdul el. (6)-ból A1+A2=0,39m, A2=(A1+A2)m1m1+m2. Innen az a feltétel is következik, hogy a rugónak 39cm összenyomódást lehetővé kell tennie. Egy 3kg tömegű kiskocsi ütközőjétől ez meglehetősen szigorú követelmény.
 

Oszlányi Gábor (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Újabb negyed periódus után a két kiskocsi maximális sebességgel távolodik egymástól, és a teljes ütközés befejeződik. A sebességek ekkor
v'2=v0+v2=2v0=2m1m1+m2v,v'1=v0-v1=v0-(v-v0)=m1-m2m1+m2v;
Ezek pontosan azok a sebességek, amelyek egy rugalmas ütközés után adódnak. Számolásunk így egy rugalmas ütközés részletezett modelljének tekinthető.
 

Horváth István (Debrecen, KLTE Gyakorló Gimn., IV. o. t.)