Feladat:	1671. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörgő Tamás ,  Kemler Anikó ,  Kirchner Gabriella ,  Kiss Péter ,  Seregdy Tamás ,  Szállási Zoltán
Füzet:	1981/április, 181 - 182. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Térfogati hőtágulás, Nyújtás, összenyomás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/november: 1671. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A melegítés következtében mind a réz, mind az alumínium dugó megváltoztatja méreteit. Mivel az alumínium hőtágulási együtthatója a nagyobb, a dugó kiemelkedik az üregből. Az ábrán látható jelöléseket használva a kiemelkedett állapotra (${\alpha }_1$ az alumínium, ${\alpha }_2$ a réz lineáris hőtágulási együtthatója, $\Delta T=180{}^{\circ }\text{C}$ a hőmérsékletváltozás): ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle x_1=a\left(1+{\alpha }_2\Delta T\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y_1=a\left(1+{\alpha }_1\Delta T\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle m_1=b\text{cos}\alpha \left(1+{\alpha }_1\Delta T\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle m_2=b\text{cos}\alpha \left(1+{\alpha }_2\Delta T\right);}\hfill \end{array}}$ továbbá $\begin{array}{c}{\displaystyle m=\frac{y_1-x_1}{2}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ Ezekkel az egyenletekkel a dugó kiemelkedése már kiszámítható: $h=m+m_1-m_2=\left({\alpha }_1-{\alpha }_2\right)\Delta T\left[b\text{cos}\alpha +\left(\alpha /2\right)\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\alpha \right]\mathrm{.}$ Az $a=3\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">cm</span>}$, $b=4\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">cm</span>}$, $\alpha =2^{\circ }$, ${\alpha }_1=2\mathrm{,}39\cdot {10}^{-5}{}^{\circ }{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">C</span>}}^{-1}$, ${\alpha }_2=1\mathrm{,}62\cdot {10}^{-5}{}^{\circ }{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">C</span>}}^{-1}$ adatokkal $\begin{array}{c}{\displaystyle h\approx 6\mathrm{,}5\cdot {10}^{-2}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">cm</span>}\mathrm{.}}\end{array}$ A réztömbben az üreg úgy változik hőmérséklet, illetve nyomásváltozás hatására, mint egy vele megegyező térfogatú rézdarab. Jelölje $V_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">AI</span>}}$ a dugó, $V_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">Cu</span>}}$ az üreg térfogatát kezdetben. Nyilván ekkor $V_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">AI</span>}}=V_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">Cu</span>}}$, $\Delta T$ hőmérsékletváltozás után ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle V{\text{'}}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">AI</span>}}=V_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">AI</span>}}\left(1+3{\alpha }_1\Delta T\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle V{\text{'}}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">Cu</span>}}=V_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">Cu</span>}}\left(1+3{\alpha }_2\Delta T\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Jelölje ${\chi }_1$, ill. ${\chi }_2$ az $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">AI</span>}$ és $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">Cu</span>}$ kompresszibilitását. A nyomást $\Delta p$-vel megnövelve ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle V\text{'}{\text{'}}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">AI</span>}}=V{\text{'}}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">AI</span>}}\left(1-{\chi }_1\Delta p\right)=V_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">AI</span>}}\left(1+3{\alpha }_1\Delta T\right)\left(1-{\chi }_1\Delta p\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle V\text{'}{\text{'}}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">Cu</span>}}=V{\text{'}}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">Cu</span>}}\left(1-{\chi }_2\Delta p\right)=V_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">Cu</span>}}\left(1+3{\alpha }_2\Delta T\right)\left(1-{\chi }_2\Delta p\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ha a dugó ismét belefér az üregbe, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle V\text{'}{\text{'}}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">AI</span>}}=V\text{'}{\text{'}}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">Cu</span>}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből a feltételből $\Delta p$-t kifejezve $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta p=\frac{3\Delta T\left({\alpha }_1-{\alpha }_2\right)}{{\chi }_1\left(1+3{\alpha }_1\Delta T\right)-{\kappa }_2\left(1+3{\alpha }_2\Delta T\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ ${\chi }_1=1\mathrm{,}34\cdot {10}^{-6}1/\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">at</span>}$; ${\chi }_2=0\mathrm{,}72\cdot {10}^{-6}1/\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">at</span>}$ adatokkal $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta p\approx 64\mathrm{,}6\cdot {10}^7{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">N/m</span>}}^2=64\mathrm{,}6\cdot {10}^7\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">Pa</span>}\mathrm{.}}\end{array}$   Szállási Zoltán (Esztergom, Dobó K. Gimn., III. o. t.)