Kezdőlap


Feladat:	1648. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Károlyi Gyula , Mogyorósi András , Szállási Zoltán
Füzet:	1981/január, 42 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/május: 1648. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük, az $m_{2}$ tömegű vagon sebességét pozitívnak, így $v_{2} = 7, 2 km/h = 2 m/s$ és $v_{1} = - 18 km/h = - 5 m/s$ . Az ütközést közvetlenül megelőző pillanatban a megfelelő sebességek legyenek $u_{1}$ és $u_{2}$ . Az ütközés teljesen rugalmatlan, így az ütközést követő pillanatban a vagonok sebessége azonos, legyen a közös sebesség $u$ . Az impulzusmegmaradás törvénye értelmében:

\begin{matrix} m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = (m_{1} + m_{2}) u, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} u = \frac{m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}}{m_{1} + m_{2}} . \end{matrix}

(1)

Az ütközést pillanatszerűnek tekinthetjük, így a helyzeti energia változatlan. A mechanikai energia csökkenése csak a mozgási energiák különbségéből adódik:

\begin{matrix} Δ E = \frac{m_{1} u_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} u_{2}^{2}}{2} - \frac{2 (m_{1} + m_{2}) u^{2}}{2} . \end{matrix}

u

sebesség helyébe az (1) kifejezést helyettesítve:

\begin{matrix} Δ E = \frac{(m_{1} + m_{2}) (m_{1} u_{1}^{2} + m_{2} u_{2}^{2}) - {(m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2})}^{2}}{2 (m_{1} + m_{2})} = \frac{m_{1} m_{2} (u_{1}^{2} + u_{2}^{2} - 2 u_{1} u_{2})}{2 (m_{1} + m_{2})}, \\ Δ E = \frac{m_{1} m_{2}}{2 (m_{1} + m_{2})} {(u_{1} - u_{2})}^{2} . & (2) \end{matrix}

A két vagon gyorsulása megegyezik, hiszen ha súrlódásmentes esetet veszünk, akkor

a = g sin α

a súrlódást is figyelembe véve

a = g (sin α - μ cos α)

, tehát a gyorsulás független a vagonok adataitól. Így az ütközés előtti pillanatban a sebességek:

\begin{matrix} u_{1} = v_{1} + a t, u_{2} = v_{2} + a t, \end{matrix}

ahol

t

az ütközésig eltelt idő. A két egyenlet kivonva egymásból

\begin{matrix} u_{1} - u_{2} = v_{1} - v_{2} . \end{matrix}

Ezt a (2) egyenletbe beírva:

\begin{matrix} Δ E = \frac{m_{1} m_{2}}{2 (m_{1} + m_{2})} {(v_{1} - v_{2})}^{2} \end{matrix}

Az adatokat behelyettesítve:

\begin{matrix} Δ E = 117 600 J . \end{matrix}

Érdekes, hogy a mechanikai energia csökkenése csak a sebességek különbségétől függ. Az ütközési energiaveszteség független a testek között kezdetben levő távolságtól és a lejtő hajlásszögétől is. Ha a súrlódástól eltekintünk, akkor

α

és

s

segítségével a vagonok gyorsulását és az ütközésig eltelt időt is ki tudjuk számolni, de ezekre az adatokra az energiacsökkenés meghatározásához nincs szükség.

Károlyi Gyula (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)