Feladat:	1646. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Krausz Ferenc
Füzet:	1981/január, 41 - 42. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Fizikai inga, Áramvezetőre ható erő, Steiner-tétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/április: 1646. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A merev keret száraira ható, az áram és a mágneses tér kölcsönhatásából származó erők párhuzamosak a rögzített tengellyel, a lengést nem befolyásolják. Forgatónyomatékot csak a keret vízszintes részére ható $F=BIr$ nagyságú, az áramra és a térre egyaránt merőleges irányú erő ad. Ha a keret két szárát állandó $I$ áramot biztosító áramgenerátorra kapcsoltuk, akkor az $F$ erő is állandó marad. Számítsuk ki $F$-et ! Az ábra alapján az egyensúly feltétele $\begin{array}{c}{\displaystyle Fr\text{cos}\alpha -Gs\text{sin}\alpha =\mathrm{0,}}\end{array}$ ahol $G=3mg$, $m$ az egyes részek tömege, $s=\left(2/3\right)r$ a súlypont és a tengely távolsága. Ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle F=\frac{2mg\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ Tegyük föl, hogy a keretet kitérítjük egyensúlyi helyzetéből $\phi$ szöggel. A rá ható forgatónyomaték ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle M=Fr\text{cos}\left(\alpha +\phi \right)-Gs\text{sin}\left(\alpha +\phi \right)\mathrm{.}}\end{array}$ A szögfüggvényekre vonatkozó összegzési szabályokat felhasználva és $F\mathrm{,}G\mathrm{,}s$ értékeit behelyettesítve nyerjük $\begin{array}{c}{\displaystyle M=-2mgr\text{sin}\phi \left(\text{cos}\alpha +\frac{\text{sin}{}^2\alpha }{\text{cos}\alpha }\right)=-\frac{2mgr\text{sin}\phi }{\text{cos}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ A rendszer tehetetlenségi nyomatéka a rögzített tengelyre nézve $\begin{array}{c}{\displaystyle \Theta =m{r}^2+2\cdot \left(1/3\right)m{r}^2=\left(5/3\right)m{r}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ha csak kis kitéréseket engedünk meg, azaz $\text{sin}\phi \approx \phi$, akkor a mozgásegyenlet $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{d^2\phi }{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">d</span>}{t}^2}=\beta =\frac{M}{\Theta }=-\frac{6g\phi }{5r\text{cos}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ Vessük ezt össze a harmonikus rezgőmozgás $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">d</span>}}^2\phi }{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">d</span>}{t}^2}=-{\omega }^2\phi }\end{array}$ egyenletével ! Látjuk, hogy a rezgésidő esetünkben $\begin{array}{c}{\displaystyle T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt[]{\frac{5r\text{cos}\alpha }{6g}}\mathrm{.}}\end{array}$    Krausz (Mór, Táncsics M. Gimn., IV. o. t.)