Kezdőlap


Feladat:	1645. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Krausz Ferenc , Sárközi Imre , Szalontai Zoltán , Umann Gábor
Füzet:	1981/január, 40 - 41. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gördülés vízszintes felületen, Impulzusmegmaradás törvénye, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/április: 1645. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kis $m$ tömeg elengedése után lefelé és ‐ a közte és az abroncs között ható nyomóerő hatására ‐ balra gyorsul; mire az abroncs aljára ér, $v$ nagyságú sebességre tesz szert.

Ugyanebben a pillanatban az abroncs tömegközéppontja jobbra mozog

V

sebességgel. A testekre ekkor csak függőleges erők hatnak, így vízszintes irányú gyorsulásuk nulla. A

m

tömegű test azonban görbe vonalú pályán mozog, sebességének iránya ekkor is változik, így centripetális gyorsulása van. Ennek kiszámításához célszerű a Földhöz képest

V

sebességgel, az abronccsal együtt mozgó koordináta-rendszerben vizsgálni mozgását, mivel itt pályájának sugara

R

. A testre ható centripetális erő így

\begin{matrix} m \frac{{(v + V)}^{2}}{R} = N - m g, \end{matrix}

(1)

ahol

N

az abroncs és a test között ható nyomóerő.

N

kiszámításához így

v

-t és

V

-t kell meghatároznunk.
Mindkét esetben felírhatjuk az energiamegmaradás törvényét, mivel sem ideális csúszás, sem tökéletes, elmozdulásmentes tapadás esetén nincs súrlódási veszteség.
a) Ha elhanyagolható az abroncs és a talaj közötti súrlódás, az abroncs nem jön forgásba, tehát

\begin{matrix} (1 / 2) m v^{2} + (1 / 2) M V^{2} = m g R . \end{matrix}

(2)

A rendszerre nem hat vízszintes külső erő, így az impulzus-megmaradás tétele alapján

\begin{matrix} m v = M V . \end{matrix}

(3)

1. ábra

Az (1)‐(3) egyenletrendszerből ekkor

\begin{matrix} v = \sqrt[]{\frac{2 g R}{1 + (m / M)}}, V = (m / M) v \end{matrix}

(4)

és

\begin{matrix} N = m g (3 + 2 m / M) . \end{matrix}

(5)

b) Ha az abroncs tapad, szögsebessége

V / R

, amikor

m

az abroncs aljára ér. Így az abroncsnak forgási energiája is van, ezt figyelembe véve az energiamegmaradás tétele

\begin{matrix} (1 / 2) m v^{2} + (1 / 2) M V^{2} + (1 / 2) M R^{2} {(V / R)}^{2} = m g R . \end{matrix}

(6)

Vizsgáljuk meg a rendszer mozgását egy tetszőleges helyzetben, feltéve, hogy az abroncs a talajon nem csúszik meg ! Legyen az abroncs és a kis test vízszintes gyorsulása

A

ill.

a

, az abroncs szöggyorsulása

β

(2. ábra).

2. ábra

Ekkor a következő összefüggéseket írhatjuk fel:

\begin{matrix} m a & = N cos φ, \\ M A & = N cos φ - S, \\ S R & = M R^{2} β, \\ A & = β R, \end{matrix}

ahonnan

2 M A = m a

. Ez az összefüggés minden pillanatban érvényes, és mivel a rendszer nyugalomból indult, az alsó helyzetben elért sebességekre is igaz, hogy:

\begin{matrix} 2 M V = m v . \end{matrix}

(7)

Az (1), (6), (7) egyenletekből így tapadás esetén

\begin{matrix} v = \sqrt[]{\frac{2 g R}{1 + (m / 2 m)}}, V = (m / 2 M) v, & (8) \\ N = m g [3 + (m / M)] . \end{matrix}

Sárközi Imre (Tata, Eötvös J. Gimn., III. o. t.)