Feladat: 1645. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Krausz Ferenc ,  Sárközi Imre ,  Szalontai Zoltán ,  Umann Gábor 
Füzet: 1981/január, 40 - 41. oldal  PDF file
Témakör(ök): Gördülés vízszintes felületen, Impulzusmegmaradás törvénye, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/április: 1645. fizika feladat

A m tömegű testet a M tömegű, R sugarú vékony abroncs peremére helyezzük belülről, az abroncs középpontjának magasságában, majd magára hagyjuk a rendszert. Mekkora erővel nyomja a test az abroncsot, amikor éppen lent van? A súrlódás az abroncs és a test között elhanyagolható, az abroncs és a talaj között pedig
a)elhanyagolható, b) elég nagy.
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kis m tömeg elengedése után lefelé és ‐ a közte és az abroncs között ható nyomóerő hatására ‐ balra gyorsul; mire az abroncs aljára ér, v nagyságú sebességre tesz szert.

Ugyanebben a pillanatban az abroncs tömegközéppontja jobbra mozog V sebességgel. A testekre ekkor csak függőleges erők hatnak, így vízszintes irányú gyorsulásuk nulla. A m tömegű test azonban görbe vonalú pályán mozog, sebességének iránya ekkor is változik, így centripetális gyorsulása van. Ennek kiszámításához célszerű a Földhöz képest V sebességgel, az abronccsal együtt mozgó koordináta-rendszerben vizsgálni mozgását, mivel itt pályájának sugara R. A testre ható centripetális erő így
m(v+V)2R=N-mg,(1)
ahol N az abroncs és a test között ható nyomóerő. N kiszámításához így v-t és V-t kell meghatároznunk.
Mindkét esetben felírhatjuk az energiamegmaradás törvényét, mivel sem ideális csúszás, sem tökéletes, elmozdulásmentes tapadás esetén nincs súrlódási veszteség.
a) Ha elhanyagolható az abroncs és a talaj közötti súrlódás, az abroncs nem jön forgásba, tehát
(1/2)mv2+(1/2)MV2=mgR.(2)
A rendszerre nem hat vízszintes külső erő, így az impulzus-megmaradás tétele alapján
mv=MV.(3)

 

1. ábra
 

Az (1)‐(3) egyenletrendszerből ekkor
v=2gR1+(m/M),V=(m/M)v(4)
és
N=mg(3+2m/M).(5)

b) Ha az abroncs tapad, szögsebessége V/R, amikor m az abroncs aljára ér. Így az abroncsnak forgási energiája is van, ezt figyelembe véve az energiamegmaradás tétele
(1/2)mv2+(1/2)MV2+(1/2)MR2(V/R)2=mgR.(6)
Vizsgáljuk meg a rendszer mozgását egy tetszőleges helyzetben, feltéve, hogy az abroncs a talajon nem csúszik meg ! Legyen az abroncs és a kis test vízszintes gyorsulása A ill. a, az abroncs szöggyorsulása β (2. ábra).
 

2. ábra
 

Ekkor a következő összefüggéseket írhatjuk fel:
ma=Ncosφ,MA=Ncosφ-S,SR=MR2β,A=βR,
ahonnan 2MA=ma. Ez az összefüggés minden pillanatban érvényes, és mivel a rendszer nyugalomból indult, az alsó helyzetben elért sebességekre is igaz, hogy:
2MV=mv.(7)
Az (1), (6), (7) egyenletekből így tapadás esetén

v=2gR1+(m/2m),V=(m/2M)v,(8)N=mg[3+(m/M)].



 Sárközi Imre (Tata, Eötvös J. Gimn., III. o. t.)