Kezdőlap


Feladat:	1573. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajnóczy Ildikó
Füzet:	1980/február, 88 - 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Csúszó súrlódás, Egyenletes mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/április: 1573. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két kocsi ütközésekor a $m$ tömegű test megcsúszik, és így az ütközés igen rövid $Δ t$ ideje alatt a súrlódási erő $μ m g \cdot Δ t$ impulzust ad át a kocsinak. Ez az impulzus azonban elhanyagolható a $m v_{0}$ , illetve a $M v_{0}$ impulzus mellett, tehát a kocsik ütközésében a $m$ tömegű test nem vesz részt. Az ütközés után a két kocsi $v_{0} / 2$ közös sebességgel, a $m$ tömegű test pedig $v_{0}$ sebességgel halad.

Az összekapcsolódott kocsik lapján csúszó

m

tömegű testet

\begin{matrix} F_{s} = μ m g \end{matrix}

(1)

nagyságú erő fékezi. Ennek az erőnek az ellenereje gyorsítja a kocsikat:

\begin{matrix} - μ m g = m a_{m}; & (2) \\ μ m g = 2 M a_{M}, & (3) \end{matrix}

a sebességek tehát

\begin{matrix} v_{m} = v_{0} - μ g t; & (4) \\ v_{M} = (v_{0} / 2) + μ g [m / (2 M)] t, & (5) \end{matrix}

ahol

t

-t az ütközés pillanatától mérjük. A megtett utak (az ütközés pillanatában elfoglalt helytől mérve)

\begin{matrix} s_{m} = v_{0} \cdot t - (1 / 2) μ g t^{2}; & (6) \\ s_{M} = (v_{0} / 2) \cdot t + (1 / 2) μ g [m / (2 M)] \cdot t^{2} . & (7) \end{matrix}

A (2)‐(7) egyenletek addig írják le helyesen a

m

tömegű test és a kiskocsik mozgását, amíg

v_{m}

és

v_{M}

egyenlővé nem válik. Ekkor a csúszás megáll, és a test a kocsikkal együtt az éppen elért közös sebességgel halad tovább. A gyorsulások ezután már nullák.
Jelöljük

t_{0}

-val azt az időpillanatot, amikor a csúszás megáll; (4) és (5) egyenlőségéből kapjuk:

\begin{matrix} t_{0} = v_{0} \frac{M}{(m + 2 M) μ g} . \end{matrix}

(8)

Ez alatt az idő alatt a

m

tömegű test

2 l

-lel több utat tesz meg, mint a kiskocsik:

\begin{matrix} 2 l + \frac{v_{0}}{2} t_{0} + \frac{μ m g}{4 M} t_{0}^{2} = v_{0} t_{0} - \frac{μ g}{2} t_{0}^{2}, \end{matrix}

(9)

amiből (8) felhasználásával és az adatokat behelyettesítve:

\begin{matrix} v_{0} = 2 \sqrt[]{\frac{2 μ g \cdot (2 M + m) l}{M}} = 10, 3 m/s . \end{matrix}

(10)

Ezt (8)-ba visszahelyettesítve

\begin{matrix} t_{0} = 2 \sqrt[]{\frac{2 M l}{(2 M + m) μ g}} = 2, 34 s . \end{matrix}

(11)

Akár (4), akár (5) segítségével az elért közös sebesség is megkapható:

\begin{matrix} v_{k} = v_{0} \cdot \frac{m + M}{m + 2 M} = 5, 6 m/s . \end{matrix}

(12)

Az egyes testek gyorsulását, sebességét és a megtett utat az ütközés pillanatától a grafikonok szemléltetik.

Bajnóczy Ildikó (Kazincbarcika, Ságvári E. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. Sok megoldó a kiskocsikhoz rögzített koordináta-rendszerben dolgozott, de megfeledkezett arról, hogy ebben a gyorsuló koordináta-rendszerben a

m

tömegű test gyorsulása más, mint a nyugvóban. Ebből következően az energiaegyenletek is (amelyekkel a megoldásban alkalmazott egyenletek egy része helyettesíthető) más alakúak, mint inerciarendszerben.