Feladat: 1573. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bajnóczy Ildikó 
Füzet: 1980/február, 88 - 90. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Csúszó súrlódás, Egyenletes mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/április: 1573. fizika feladat

Egy álló, M tömegű, l hosszúságú kiskocsihoz egy másik ugyanolyan kiskocsi közeledik v0 sebességgel (lásd az ábrát). A mozgó kiskocsi végén egy m tömegű test áll. A közegellenállás, valamint a talajon a súrlódás elhanyagolható. A m tömegű test méretei igen kicsik, a súrlódási együttható a test és a kiskocsi felső lapja között μ.
 

 

A két kiskocsi ütközése teljesen rugalmatlan, az ütközés után együtt haladnak tovább, azaz ,,összekapcsolódnak''. Hosszú idő elteltével a m tömegű test a jobb oldali kiskocsi jobb oldali végén áll. Mekkora v0 értéke? Hogyan függ a két kiskocsi és a test elmozdulása, sebessége és gyorsulása az időtől? Eredményeinket ábrázolju grafikusan! (Adatok: m=2 m; μ=0,2; l=3 m.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két kocsi ütközésekor a m tömegű test megcsúszik, és így az ütközés igen rövid Δt ideje alatt a súrlódási erő μmgΔt impulzust ad át a kocsinak. Ez az impulzus azonban elhanyagolható a mv0, illetve a Mv0 impulzus mellett, tehát a kocsik ütközésében a m tömegű test nem vesz részt. Az ütközés után a két kocsi v0/2 közös sebességgel, a m tömegű test pedig v0 sebességgel halad.

 
 

Az összekapcsolódott kocsik lapján csúszó m tömegű testet
Fs=μmg(1)
nagyságú erő fékezi. Ennek az erőnek az ellenereje gyorsítja a kocsikat:
-μmg=mam;(2)μmg=2MaM,(3)


a sebességek tehát
vm=v0-μgt;(4)vM=(v0/2)+μg[m/(2M)]t,(5)


ahol t-t az ütközés pillanatától mérjük. A megtett utak (az ütközés pillanatában elfoglalt helytől mérve)
sm=v0t-(1/2)μgt2;(6)sM=(v0/2)t+(1/2)μg[m/(2M)]t2.(7)


A (2)‐(7) egyenletek addig írják le helyesen a m tömegű test és a kiskocsik  mozgását, amíg vm és vM egyenlővé nem válik. Ekkor a csúszás megáll, és a test a kocsikkal együtt az éppen elért közös sebességgel halad tovább. A gyorsulások ezután már nullák.
Jelöljük t0-val azt az időpillanatot, amikor a csúszás megáll; (4) és (5) egyenlőségéből kapjuk:
t0=v0M(m+2M)μg.(8)
Ez alatt az idő alatt a m tömegű test 2l-lel több utat tesz meg, mint a kiskocsik:
2l+v02t0+μmg4Mt02=v0t0-μg2t02,(9)
amiből (8) felhasználásával és az adatokat behelyettesítve:
v0=22μg(2M+m)lM=10,3m/s.(10)
Ezt (8)-ba visszahelyettesítve
t0=22Ml(2M+m)μg=2,34s.(11)
Akár (4), akár (5) segítségével az elért közös sebesség is megkapható:
vk=v0m+Mm+2M=5,6m/s.(12)
Az egyes testek gyorsulását, sebességét és a megtett utat az ütközés pillanatától a grafikonok szemléltetik.
 
 

Bajnóczy Ildikó (Kazincbarcika, Ságvári E. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. Sok megoldó a kiskocsikhoz rögzített koordináta-rendszerben dolgozott, de megfeledkezett arról, hogy ebben a gyorsuló koordináta-rendszerben a m tömegű test gyorsulása más, mint a nyugvóban. Ebből következően az energiaegyenletek is (amelyekkel a megoldásban alkalmazott egyenletek egy része helyettesíthető) más alakúak, mint inerciarendszerben.