Kezdőlap


Feladat:	1562. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh László , Cseresnyés Zoltán , Gulyás Andor , Kassai János , Kávássy Lóránd , Madi Tibor , Nagy Ákos , Szalontai Zoltán , Umann Gábor
Füzet:	1980/január, 40 - 41. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb fénytörés, Fermat-elv, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/február: 1562. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyezzük el a koordináta-rendszerünket az ábrán látható módon. Az $x$ -tengely párhuzamos a beeső párhuzamos fénysugárral. Az $n$ törésmutatójú közeg az $F_{2}$ pontba gyűjti össze a fénynyalábot. Az optikai leképezés Fermat-elve szerint a különböző fénysugarakra nézve az optikai úthosszaknak meg kell egyezniük. (Optikai úthosszon a homogén közeg törésmutatójának és a geometriai úthossznak a szorzatát értjük.) Irjuk fel az $x$ -tengely mentén haladó $(2)$ és az azzal párhuzamos $(1)$ fénysugárra az optikai úthosszak egyenlőségét az $y$ -tengelyen való áthaladás után:

\begin{matrix} n \cdot {\bar{O F}}_{2} = \bar{P_{0} P} + n \cdot {\bar{P F}}_{2} . \end{matrix}

(1)

Az egyes szakaszok az ábra alapján egyszerűen kifejezhetők a

P

pont koordinátáival, és az

{\bar{O F}}_{2} = f

távolsággal:

\begin{matrix} n f = x + n \sqrt[]{y^{2} + {(f - x)}^{2}} . \end{matrix}

(2)

Rendezés után a következő egyenlet adódik:

\begin{matrix} \frac{y^{2}}{\frac{n - 1}{n + 1} \cdot f^{2}} + \frac{{(x - f \frac{n}{n + 1})}^{2}}{\frac{n^{2}}{{(n + 1)}^{2}} \cdot f^{2}} = 1. \end{matrix}

(3)

Ez egy ellipszis egyenlete, amelynek tengelyei párhuzamosak a koordináta-rendszer tengelyeivel,

O'

középpontja pedig az

x

-tengely mentén

\frac{n}{n + 1} \cdot f

távolsággal pozitív irányban el van csúsztatva. Az ellipszis nagytengelyének fele

a = \frac{n}{n + 1} \cdot f

, kistengelyének fele

b = \frac{n - 1}{n + 1} \cdot f

, excentricitása

e = \frac{f}{n + 1}

, ami éppen

f

-nek és

a

-nak a különbsége. Ezért a forgási ellipszoid törőfelület a távolabbi gyújtópontba gyűjti össze a fénysugarakat.
Ha

n < 1

, vagyis a közeg törésmutatója kisebb, mint a környezeté, akkor a

(3)

egyenlet hiperbolát szolgáltat, a törőfelület pedig forgási hiperboloid lesz.

Szalontai Zoltán (Törökszentmiklós, Bercsényi M. Gimn., III. o. t.)