Feladat: 1562. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balogh László ,  Cseresnyés Zoltán ,  Gulyás Andor ,  Kassai János ,  Kávássy Lóránd ,  Madi Tibor ,  Nagy Ákos ,  Szalontai Zoltán ,  Umann Gábor 
Füzet: 1980/január, 40 - 41. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb fénytörés, Fermat-elv, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/február: 1562. fizika feladat

Milyen alakú legyen az n törésmutatójú közeg felülete, hogy a ráeső párhuzamos fénysugarakat egy pontba gyűjtse össze?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyezzük el a koordináta-rendszerünket az ábrán látható módon. Az x-tengely párhuzamos a beeső párhuzamos fénysugárral. Az n törésmutatójú közeg az F2 pontba gyűjti össze a fénynyalábot. Az optikai leképezés Fermat-elve szerint a különböző fénysugarakra nézve az optikai úthosszaknak meg kell egyezniük. (Optikai úthosszon a homogén közeg törésmutatójának és a geometriai úthossznak a szorzatát értjük.) Irjuk fel az x-tengely mentén haladó (2) és az azzal párhuzamos (1) fénysugárra az optikai úthosszak egyenlőségét az y-tengelyen való áthaladás után:

nOF¯2=P0P¯+nPF¯2.(1)

 
 

Az egyes szakaszok az ábra alapján egyszerűen kifejezhetők a P pont koordinátáival, és az OF¯2=f távolsággal:
nf=x+ny2+(f-x)2.(2)
Rendezés után a következő egyenlet adódik:
y2n-1n+1f2+(x-fnn+1)2n2(n+1)2f2=1.(3)
Ez egy ellipszis egyenlete, amelynek tengelyei párhuzamosak a koordináta-rendszer tengelyeivel, O' középpontja pedig az x-tengely mentén nn+1f távolsággal pozitív irányban el van csúsztatva. Az ellipszis nagytengelyének fele a=nn+1f, kistengelyének fele b=n-1n+1f, excentricitása e=fn+1, ami éppen f-nek és a-nak a különbsége. Ezért a forgási ellipszoid törőfelület a távolabbi gyújtópontba gyűjti össze a fénysugarakat.
Ha n<1, vagyis a közeg törésmutatója kisebb, mint a környezeté, akkor a (3) egyenlet hiperbolát szolgáltat, a törőfelület pedig forgási hiperboloid lesz.
 

 Szalontai Zoltán (Törökszentmiklós, Bercsényi M. Gimn., III. o. t.)