Kezdőlap


Feladat:	1528. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czinege Zoltán , Eszes Zsolt , Gombos Éva , Holczbauer László , Kaufmann Zoltán , Kiss Edit , Láng Győző , Lorencz Kinga , Madi Tibor , Paróczai Dezső , Pásztor Attila , Rozenberszki Csaba , Teravágimov Attila
Füzet:	1979/május, 230 - 231. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Newton-féle gravitációs erő, Nehézségi erő, Egyéb (A Nappal kapcsolatos), Egyéb (Hold), Árapály, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/október: 1528. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Földhöz képest nyugalomban levő test a Nap gravitációs ereje miatt a Földdel együtt

\begin{matrix} a_{c} = γ M_{N} / R^{2} \end{matrix}

(1)

gyorsulással mozog, ahol

γ = 6, 67 \cdot 10^{- 11} {Nm}^{2} / {kg}^{2}

a gravitációs állandó,

M_{N} = 2 \cdot 10^{30} kg

a Nap tömege,

R = 1, 5 \cdot 10^{11} m

pedig a Nap‐Föld távolság. A Földhöz képest nyugalomban levő

m = 1, 5 \cdot 10^{7} kg

tömegű test mozgásegyenlete a Föld felszínére merőleges irányban délben:

\begin{matrix} m a_{c} = F_{g r}^{N} + K_{0} - F_{g r}^{F} . \end{matrix}

(2)

6 óra múlva

\begin{matrix} 0 = F_{g r}^{N} sin α + F_{g r}^{F} - K_{6}, \end{matrix}

(3)

ahol

α

a földsugár és a Föld‐Nap távolság hánydosa.
12 óra múlva

\begin{matrix} m a_{c} = F_{g r}^{F} + F_{g r}^{N} - K_{12}, \end{matrix}

(4)

ahol

F_{g r}^{F}

F_{g r}^{N}

a Föld, illetve a Nap gravitációs vonzó ereje az adott pontban

K_{0}

K_{6}

és

K_{12}

pedig annak az erőnek az ellenereje, amivel a test nyomja a Földet, azaz abszolút értéke éppen a súlyerőt adja meg. Ha egy pillanatra "kikapcsoljuk'' a Nap gravitációs hatását, akkor

\begin{matrix} a_{c} = 0, F_{g r}^{F} = K . \end{matrix}

A súlyváltozás tehát a megfelelő pontokban:

\begin{matrix} K_{0} - K = γ M_{N} m [\frac{1}{R^{2}} - \frac{1}{{(R - r)}^{2}}] = - 7, 5539 N, \end{matrix}

\begin{matrix} K_{6} - K = F_{g r}^{N} sin α = + 3, 7767 N, \end{matrix}

\begin{matrix} K_{12} - K = γ M_{N} m [\frac{1}{{(R + r)}^{2}} - \frac{1}{R^{2}}] = - 7, 5529 N, \end{matrix}

ahol

r = 6, 37 \cdot 10^{6} m

a Föld sugara.
Tehát ahogy ezt az 1519. feladatban már láttuk, a súly a Nap felé eső és az ellentétes oldalon egyaránt csökken. Látható, hogy a Nap felőli oldalon a súlycsökkenés némileg nagyobb, mint az ellentétes oldalon. (Ha a zárójelben levő különbséget sorfejtéssel közelítjük, akkor a második tagot is figyelembe kell vennünk, hogy a déli és éjszakai súly közötti különbséget megkapjuk.)
Ugyanilyen módon kiszámolva a Hold gravitációs ereje miatti súlyváltozásokat, ugyanolyan sorrendben, mint előbb, a

- 17, 0282 N

+ 8, 3031 N

és

- 16, 2023 N

értékeket kapjuk. (A felhasznált adatok:

M_{H} = 7, 4 \cdot 10^{22} kg

, Föld‐Hold távolság

3, 844 \cdot 10^{8} m

.) A Nap gravitációs ereje

\sim

180-szor nagyobb a Föld középpontjában, mint a Holdé. Természetesen ez a viszony nem igaz az árapály keltő hatásukra, mint az a kiszámolt súlyváltozásokból is látható. Az eredmény nem meglepő, mert tudjuk, hogy az árapály jelensége a gravitációs tér inhomogenitásának eredménye, és a Hold kisebb gravitációs ereje a Hold‐Föld távolság kicsinysége miatt nagyon inhomogén.
A tengeren úszó hajó súlyát úgy állapítjuk meg, hogy a merülési mélységét mérjük. Mivel a kiszorított vízre ugyanazon súlyváltozásokat számolhatnánk ki, mint a hajóra, így a hajó bemerülése, azaz a súlya nem változik. (Lényegileg ugyanaz történik, mintha rugós mérleg helyett kétkarú mérleggel mérnénk. Ekkor természetesen súlyváltozást nem tapasztalunk.)
Tanulságos a fenti számok nagyságának érzékeltetéséhez kiszámolnunk, hogy az

m

tömegű test súlya hogyan változik meg, ha a Föld felszínéhez képest 1 m magasra emeljük. Tehát

\begin{matrix} Δ K = γ m M_{F} [\frac{1}{{(r + 1)}^{2}} - \frac{1}{r^{2}}] = - 46, 4 N . \end{matrix}

Láthatjuk tehát, hogy a földi gravitációs tér csekély ingadozása a fent számolt súlyváltozásaknál jelentősebb hatású. A feladatnak az volt a célja, hogy a numerikus megoldás útján az árapály jelenséget pontosabban megértsük.

Lorencz Kinga (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o. t.)
dolgozata alapján