Feladat: 1528. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Czinege Zoltán ,  Eszes Zsolt ,  Gombos Éva ,  Holczbauer László ,  Kaufmann Zoltán ,  Kiss Edit ,  Láng Győző ,  Lorencz Kinga ,  Madi Tibor ,  Paróczai Dezső ,  Pásztor Attila ,  Rozenberszki Csaba ,  Teravágimov Attila 
Füzet: 1979/május, 230 - 231. oldal  PDF file
Témakör(ök): Newton-féle gravitációs erő, Nehézségi erő, Egyéb (A Nappal kapcsolatos), Egyéb (Hold), Árapály, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/október: 1528. fizika feladat

a) Mennyivel változtatja meg a Nap közvetlen vonzó hatása egy, az Egyenlítőn lévő m=1,5107 kg tömegű test súlyát akkor, amikor a Nap éppen a test fölött látszik, azaz a zeniten van? Mekkora ez a hatás 6 óra, illetve 12 óra múlva?
b) Mennyivel változtatja meg a test súlyát a Hold közvetlen vonzó hatása, ha a Hold éppen a zeniten van, illetve 6 órával és 12 órával később?
c) A Föld középpontjában a Naptól vagy a Holdtól származó gravitációs erőhatás nagyobb-e?
d) A Nap vagy a Hold árapálykeltő hatása nagyobb-e?
e) Időnként a tengereken észlelt árapály lényegesen nagyobb, mint általában. Mi okozza ezt a jelenséget? Milyen sűrűn várható a különlegesen magas dagály?
f) Számítsuk ki az a) és b) pontban kérdezett súlyváltozásokat egy m tömegű hajóra! Magyarázzuk meg az eredményeket!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Földhöz képest nyugalomban levő test a Nap gravitációs ereje miatt a Földdel együtt

ac=γMN/R2(1)
gyorsulással mozog, ahol γ=6,6710-11  Nm2/kg2 a gravitációs állandó, MN=21030  kg a Nap tömege, R=1,51011  m pedig a Nap‐Föld távolság. A Földhöz képest nyugalomban levő m=1,5107  kg tömegű test mozgásegyenlete a Föld felszínére merőleges irányban délben:
mac=FgrN+K0-FgrF.(2)
6 óra múlva
0=FgrNsinα+FgrF-K6,(3)
ahol α a földsugár és a Föld‐Nap távolság hánydosa.
12 óra múlva
mac=FgrF+FgrN-K12,(4)
ahol FgrF, FgrN a Föld, illetve a Nap gravitációs vonzó ereje az adott pontban K0, K6 és K12 pedig annak az erőnek az ellenereje, amivel a test nyomja a Földet, azaz abszolút értéke éppen a súlyerőt adja meg. Ha egy pillanatra "kikapcsoljuk'' a Nap gravitációs hatását, akkor
ac=0,FgrF=K.
A súlyváltozás tehát a megfelelő pontokban:
K0-K=γMNm[1R2-1(R-r)2]=-7,5539  N,
K6-K=FgrNsinα=+3,7767  N,
K12-K=γMNm[1(R+r)2-1R2]=-7,5529  N,
ahol r=6,37106  m a Föld sugara.
Tehát ahogy ezt az 1519. feladatban már láttuk, a súly a Nap felé eső és az ellentétes oldalon egyaránt csökken. Látható, hogy a Nap felőli oldalon a súlycsökkenés némileg nagyobb, mint az ellentétes oldalon. (Ha a zárójelben levő különbséget sorfejtéssel közelítjük, akkor a második tagot is figyelembe kell vennünk, hogy a déli és éjszakai súly közötti különbséget megkapjuk.)
Ugyanilyen módon kiszámolva a Hold gravitációs ereje miatti súlyváltozásokat, ugyanolyan sorrendben, mint előbb, a -17,0282  N, +8,3031  N és -16,2023  N értékeket kapjuk. (A felhasznált adatok: MH=7,41022  kg, Föld‐Hold távolság 3,844108  m.) A Nap gravitációs ereje 180-szor nagyobb a Föld középpontjában, mint a Holdé. Természetesen ez a viszony nem igaz az árapály keltő hatásukra, mint az a kiszámolt súlyváltozásokból is látható. Az eredmény nem meglepő, mert tudjuk, hogy az árapály jelensége a gravitációs tér inhomogenitásának eredménye, és a Hold kisebb gravitációs ereje a Hold‐Föld távolság kicsinysége miatt nagyon inhomogén.
A tengeren úszó hajó súlyát úgy állapítjuk meg, hogy a merülési mélységét mérjük. Mivel a kiszorított vízre ugyanazon súlyváltozásokat számolhatnánk ki, mint a hajóra, így a hajó bemerülése, azaz a súlya nem változik. (Lényegileg ugyanaz történik, mintha rugós mérleg helyett kétkarú mérleggel mérnénk. Ekkor természetesen súlyváltozást nem tapasztalunk.)
Tanulságos a fenti számok nagyságának érzékeltetéséhez kiszámolnunk, hogy az m tömegű test súlya hogyan változik meg, ha a Föld felszínéhez képest 1 m magasra emeljük. Tehát
ΔK=γmMF[1(r+1)2-1r2]=-46,4  N.
Láthatjuk tehát, hogy a földi gravitációs tér csekély ingadozása a fent számolt súlyváltozásaknál jelentősebb hatású. A feladatnak az volt a célja, hogy a numerikus megoldás útján az árapály jelenséget pontosabban megértsük.
 

 Lorencz Kinga (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o. t.)
 dolgozata alapján