Kezdőlap


Feladat:	1513. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Angyal József , Bagi József , Böszörményi Zoltán , Czakó Ferenc , Halász Péter , Hegedűs Péter , Király Zoltán , Kovács Endre , Mészáros József , Szászvárosi György , Szirmay László , Villányi Zoltán
Füzet:	1979/február, 90 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/szeptember: 1513. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két fiú akkor jutott el a városba, ha egy időpillanatban mindketten ott tartózkodnak.
Az úton nyilván végig a város irányában kell haladniuk. Eközben a kerékpárt annak használója hátrahagyhatja társának, és ilyen módon többször is cserélhetnek. Tegyen meg az egyik fiú összesen $s_{1}$ utat kerékpáron és $s - s_{1}$ -et gyalog, ahol $s$ a teljes táv. Ha a másik fiú a kerékpár birtokában nem gyalogol, akkor ő összesen $s_{1}$ utat gyalog és $s - s_{1}$ -et kerékpáron tesz meg. Az első fiú $t_{1}$ , a második $t_{2}$ idő alatt éri el a várost. Az elérési idő a kettő közül a nagyobbik. Ha $v_{1}$ a kerékpáros, $v_{2}$ a gyalogos sebessége, akkor

\begin{matrix} t_{1} = (s_{1} / v_{1}) + (s - s_{1}) / v_{2} és t_{2} = (s_{1} / v_{2}) + (s - s_{1}) / v_{1} . \end{matrix}

(1)

Tegyük fel, hogy

t_{1} > t_{2}

. A fentiek alapján ez az

\begin{matrix} s_{1} < s / 2 \end{matrix}

(2)

egyenlőtlenséggel ekvivalens. Az elérési idő

\begin{matrix} t_{1} = (s / v_{2}) - s_{1} [(1 / v_{2}) - (1 / v_{1})] \end{matrix}

akkor minimális, ha

s_{1}

maximális, mivel

v_{1} > v_{2}

. Figyelembe véve (2)-t kapjuk, hogy

\begin{matrix} s_{1} = s / 2. \end{matrix}

Ezt legegyszerűbben egyetlen, a félúton történő cserével valósíthatják meg.
A városba (1) alapján a két fiú egyenlő idők alatt ér be:

\begin{matrix} t_{1} = t_{2} = T = (s / 2) [(1 / v_{1}) + (1 / v_{2})] . \end{matrix}

A számadatokkal

\begin{matrix} T = 1^{h} 20' . \end{matrix}

Valamely

v

fizikai mennyiség időbeli átlagának a

\begin{matrix} \bar{v} = \frac{\sum v_{i} t_{i}}{T} \end{matrix}

kifejezést nevezzük, ahol a

T

időtartamot

t_{i}

részintervallumokra bontottuk úgy, hogy az

i

-edik részintervallumban

v

értéke állandóan

v_{i}

. Ha

v

sebesség, akkor a számlálóban a

T

idő alatt megtett út áll. A városba érésig mindkettejük átlagsebessége ezért

\begin{matrix} \bar{v} = s / T = 15 km/h . \end{matrix}

Amennyiben nem szükséges mindkét fiúnak egy időben a városban tartózkodnia, elég csupán mindkettőnek megfordulnia ott, akkor a feladatot másképp is megoldhatjuk.
Ekkor nem kell mindig a város irányában haladniuk. Visszafordulnia azonban csak a kerékpárosnak érdemes a város elérésekor, ha a társa még úton van. Ha a városba kerékpárral érkezőnek

s_{1}

a kerékpáron,

s - s_{1}

a gyalog megtett összes útja, akkor ő

\begin{matrix} t_{1} = (s_{1} / v_{1}) + (s - s_{1}) / v_{2} \end{matrix}

(3)

idő múlva éri el a várost. A másik fiú ugyanennyi idő alatt kerékpáron

s - s_{1}

, gyalog

s_{2}

utat tett meg, s a várost még nem érte el:

\begin{matrix} t_{1} = (s - s_{1}) / v_{1} + (s_{2} / v_{2}) . \end{matrix}

Ebből meghatározhatjuk, milyen távol van a várostól a gyalogos, amikor a társa visszafordul:

\begin{matrix} s_{3} = s - [(s - s_{1}) + s_{2}] = (2 s_{1} - s) [1 - (v_{2} / v_{1})] . \end{matrix}

Mivel

s_{3} \geq 0

, azért

s_{1} \geq s / 2

.
A gyalogos ezután akkor érhet be leghamarabb a városba, ha a kerékpáros elébe jön. Az

s_{3}

hosszúságú útszakaszon

s_{4}

-et a gyalogos,

s_{5}

-öt a kerékpáros tesz meg a találkozásig. Ezért az

\begin{matrix} s_{4} + s_{5} = s_{3} és az s_{4} / v_{2} = s_{5} / v_{1} \end{matrix}

egyenletek érvényesek, ahonnan

\begin{matrix} s_{4} = \frac{s_{3}}{1 + (v_{1} / v_{2})} . \end{matrix}

(4)

A visszafordulástól a találkozásig eltelt idő:

\begin{matrix} t_{2} = s_{4} / v_{2}, \end{matrix}

(5)

ez megegyezik a találkozástól a második fiú városba érkezéséig eltelt idővel.
A második fiú a városba ezért

\begin{matrix} T = t_{1} + 2 t_{2} \end{matrix}

idő alatt érkezik meg. (3), (4) és (5) alapján

\begin{matrix} T = s [\frac{1}{v_{1}} - 2 \cdot \frac{1 - (v_{2} / v_{1})}{v_{1} + v_{2}}] - s_{1} [\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{v_{1}} - 4 \frac{1 - (v_{2} / v_{1})}{v_{1} + v_{2}}] . \end{matrix}

Számadatainkkal

s_{1}

együtthatója nulla. Következésképpen ezzel a stratégiával szemben bármilyen, az

s \geq s_{1} \geq s / 2

egyenlőtlenséget kielégítő cserélési rendszer esetén az elérési idő ugyanaz. Numerikusan

\begin{matrix} T = 1^{h} 20' . \end{matrix}

A kerékpárral visszaforduló fiú átlagsebessége a kerékpár átadásáig

\begin{matrix} v_{a} = \frac{s + s_{5}}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s + (2 s_{1} - s) \frac{1 - (v_{1} / v_{2})}{1 + (v_{2} / v_{1})}}{\frac{(2 s_{1} - s) [1 - (v_{1} / v_{2})]}{v_{1} + v_{2}} + \frac{s}{v_{1}} + \frac{s - s_{1}}{v_{2}}} . \end{matrix}

s_{1}

határozatlansága miatt numerikusan nem adható meg. Társának átlagsebessége a városba érésig

\begin{matrix} v_{b} = s / T = 15 km/h . \end{matrix}

Az elérési idő második értelmezése tartalmazza az elsőt, ezért értéke az első és a második részben kiszámított idők kisebbike lesz. Ezúttal a két idő egyenlő.
Ezt annak a következményének is tekinthetjük, hogy az első stratégia a másodiknak

s_{1} = s / 2

-höz tartozó speciális esete. Megjegyezzük, hogy az első rész gondolatmenetét a második rész viszont nem tartalmazza teljesen. A második részben ugyanis csak azt az esetet vizsgáltuk, amikor a kerékpáros ér előbb a városba.

Megjegyzés. Akár az első, akár a második értelmezés szerinti helyesen indokolt megoldásra maximális pontszámot adtunk. A megoldók többsége az első értelmezést választotta, a helyes stratégiát megadta. Azt, hogy más módszer nem lehetséges, csak kevesen indokolták.