Feladat: 1513. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Angyal József ,  Bagi József ,  Böszörményi Zoltán ,  Czakó Ferenc ,  Halász Péter ,  Hegedűs Péter ,  Király Zoltán ,  Kovács Endre ,  Mészáros József ,  Szászvárosi György ,  Szirmay László ,  Villányi Zoltán 
Füzet: 1979/február, 90 - 92. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/szeptember: 1513. fizika feladat

Két fiúnak a legrövidebb idő alatt kell eljutnia a 20 km-re levő szomszéd városba. Egyetlen kerékpárjuk van, amelyre nem ülhetnek rá egyszerre ketten. Kerékpáron 30 km/h sebességgel, futva 10 km/h sebességgel tudnak haladni. Mennyi idő szükséges ahhoz, hogy mindketten elérjék a célt? Mekkora az elért átlagsebesség?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két fiú akkor jutott el a városba, ha egy időpillanatban mindketten ott tartózkodnak.
Az úton nyilván végig a város irányában kell haladniuk. Eközben a kerékpárt annak használója hátrahagyhatja társának, és ilyen módon többször is cserélhetnek. Tegyen meg az egyik fiú összesen s1 utat kerékpáron és s-s1-et gyalog, ahol s a teljes táv. Ha a másik fiú a kerékpár birtokában nem gyalogol, akkor ő összesen s1 utat gyalog és s-s1-et kerékpáron tesz meg. Az első fiú t1, a második t2 idő alatt éri el a várost. Az elérési idő a kettő közül a nagyobbik. Ha v1 a kerékpáros, v2 a gyalogos sebessége, akkor

t1=(s1/v1)+(s-s1)/v2ést2=(s1/v2)+(s-s1)/v1.(1)
Tegyük fel, hogy t1>t2. A fentiek alapján ez az
s1<s/2(2)
egyenlőtlenséggel ekvivalens. Az elérési idő
t1=(s/v2)-s1[(1/v2)-(1/v1)]
akkor minimális, ha s1 maximális, mivel v1>v2. Figyelembe véve (2)-t kapjuk, hogy
s1=s/2.
Ezt legegyszerűbben egyetlen, a félúton történő cserével valósíthatják meg.
A városba (1) alapján a két fiú egyenlő idők alatt ér be:
t1=t2=T=(s/2)[(1/v1)+(1/v2)].
A számadatokkal
T=1h20'.

Valamely v fizikai mennyiség időbeli átlagának a
v¯=vitiT
kifejezést nevezzük, ahol a T időtartamot ti részintervallumokra bontottuk úgy, hogy az i-edik részintervallumban v értéke állandóan vi. Ha v sebesség, akkor a számlálóban a T idő alatt megtett út áll. A városba érésig mindkettejük átlagsebessége ezért
v¯=s/T=15km/h.

Amennyiben nem szükséges mindkét fiúnak egy időben a városban tartózkodnia, elég csupán mindkettőnek megfordulnia ott, akkor a feladatot másképp is megoldhatjuk.
Ekkor nem kell mindig a város irányában haladniuk. Visszafordulnia azonban csak a kerékpárosnak érdemes a város elérésekor, ha a társa még úton van. Ha a városba kerékpárral érkezőnek s1 a kerékpáron, s-s1 a gyalog megtett összes útja, akkor ő
t1=(s1/v1)+(s-s1)/v2(3)
idő múlva éri el a várost. A másik fiú ugyanennyi idő alatt kerékpáron s-s1, gyalog s2 utat tett meg, s a várost még nem érte el:
t1=(s-s1)/v1+(s2/v2).
Ebből meghatározhatjuk, milyen távol van a várostól a gyalogos, amikor a társa visszafordul:
s3=s-[(s-s1)+s2]=(2s1-s)[1-(v2/v1)].
Mivel s30, azért s1s/2.
A gyalogos ezután akkor érhet be leghamarabb a városba, ha a kerékpáros elébe jön. Az s3 hosszúságú útszakaszon s4-et a gyalogos, s5-öt a kerékpáros tesz meg a találkozásig. Ezért az
s4+s5=s3és azs4/v2=s5/v1
egyenletek érvényesek, ahonnan
s4=s31+(v1/v2).(4)
A visszafordulástól a találkozásig eltelt idő:
t2=s4/v2,(5)
ez megegyezik a találkozástól a második fiú városba érkezéséig eltelt idővel.
A második fiú a városba ezért
T=t1+2t2
idő alatt érkezik meg. (3), (4) és (5) alapján
T=s[1v1-21-(v2/v1)v1+v2]-s1[1v2-1v1-41-(v2/v1)v1+v2].
Számadatainkkal s1 együtthatója nulla. Következésképpen ezzel a stratégiával szemben bármilyen, az ss1s/2 egyenlőtlenséget kielégítő cserélési rendszer esetén az elérési idő ugyanaz. Numerikusan
T=1h20'.
A kerékpárral visszaforduló fiú átlagsebessége a kerékpár átadásáig
va=s+s5t1+t2=s+(2s1-s)1-(v1/v2)1+(v2/v1)(2s1-s)[1-(v1/v2)]v1+v2+sv1+s-s1v2.
Ez s1 határozatlansága miatt numerikusan nem adható meg. Társának átlagsebessége a városba érésig
vb=s/T=15km/h.

Az elérési idő második értelmezése tartalmazza az elsőt, ezért értéke az első és a második részben kiszámított idők kisebbike lesz. Ezúttal a két idő egyenlő.
Ezt annak a következményének is tekinthetjük, hogy az első stratégia a másodiknak s1=s/2-höz tartozó speciális esete. Megjegyezzük, hogy az első rész gondolatmenetét a második rész viszont nem tartalmazza teljesen. A második részben ugyanis csak azt az esetet vizsgáltuk, amikor a kerékpáros ér előbb a városba.
 
Megjegyzés. Akár az első, akár a második értelmezés szerinti helyesen indokolt megoldásra maximális pontszámot adtunk. A megoldók többsége az első értelmezést választotta, a helyes stratégiát megadta. Azt, hogy más módszer nem lehetséges, csak kevesen indokolták.