Kezdőlap


Feladat:	1394. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Blázsik Zoltán , Kaposi András
Füzet:	1977/április, 185 - 186. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nyomóerő, kötélerő, Centrifugális erő, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/november: 1394. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábrán berajzoltuk az egyes testekre ható erőket.

m

tömegű test mozgásegyenletei a vízszintes és a függőleges komponensekre:

\begin{matrix} m r ω^{2} = & F_{1} sin α + F_{2} sin β, & (1) \\ 0 = & m g - F_{1} cos α + F_{2} cos β . & (2) \end{matrix}

M

tömegű test mozgásegyenletét csak a függőleges komponensekre írjuk fel:

\begin{matrix} 0 = M g - F_{2} cos β . \end{matrix}

(3)

(1), (2) és (3) egybevetésével, valamint a

\begin{matrix} sin α = r / l, sin β = r / s \end{matrix}

(4)

geometriai egyenlőségek felhasználásával a

\begin{matrix} \frac{m + M}{\sqrt[]{l^{2} - r^{2}}} r g + \frac{M}{\sqrt[]{s^{2} - r^{2}}} r g = m r ω^{2} \end{matrix}

(5)

egyenletet kapjuk, amelyben csak

r

ismeretlen. Az (5) egyenlet adott

M

m

és

ω

értékek mellett numerikusan megoldható, ebből a

m

tömegű test sebessége

\begin{matrix} v = r \cdot ω . \end{matrix}

(6)

Az (5) egyenletnek mindig gyöke az

r = O

. Ha ez az egyetlen gyök, a kötelek függőlegesek, a

m

tömeg ,,nem lódul ki''. Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy (5)-nek az

r = 0

-n kívül más gyöke is lehessen:

\begin{matrix} \frac{m + M}{l} g + \frac{M g}{s} < m ω^{2} . \end{matrix}

(7)

Tegyük fel, hogy

ω

csak egy kicsit nagyobb, mint az a küszöbérték, amely fölött az

r \neq 0

gyök megjelenik:

\begin{matrix} ω = ω_{0} + Δ ω = \sqrt[]{\frac{(M + m) g}{l} + \frac{M g}{s}} + Δ ω \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{Δ ω}{ω_{0}} ≪ 1. \end{matrix}

Ekkor várhatóan

r

is kicsi. Felhasználhatjuk, hogy ha

r / l ≪ 1

, akkor

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{l^{2} - r^{2}}} \approx \frac{1}{l [1 - (1 / 2) r^{2} / l^{2}]} \approx \frac{1}{l} \cdot (1 + \frac{1}{2} \frac{r^{2}}{l^{2}}), \end{matrix}

(8)

hasonlóan

r / s ≪ 1

esetén

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{s^{2} - r^{2}}} \approx \frac{1}{s} (1 + \frac{1}{2} \frac{r^{2}}{s^{2}}) \end{matrix}

(9)

(8) és (9) felhasználásával (5) az

\begin{matrix} m 2 ω_{0} Δ ω \approx \frac{1}{2} (\frac{m + M}{l^{3}} + \frac{M}{s^{3}}) g r^{2} \end{matrix}

(10)

alakra hozható, ahonnan

\begin{matrix} r \approx \sqrt[]{\frac{4 m ω_{0} Δ ω}{(M + m) g / l^{3} + M g / s^{3}}} . \end{matrix}

(11)

ω

nő (

Δ ω / ω_{0}

már nem kicsi az 1-hez képest), (11) már nem jól közelíti az

r

-et. Ha

ω \to \infty

, akkor

r

tart az

l

és

s

közül a kisebbik értékhez (csak ekkor tarthat (5) bal oldala

+ \infty

-hez). Tegyük fel, hogy

s < l

és

ω ≫ ω_{0}

. Ekkor

\begin{matrix} r \approx s, \end{matrix}

és a sebesség

\begin{matrix} v \approx s ω . \end{matrix}

Fordított esetben (

s > l

)

ω ≫ ω_{0}

esetén

r \approx l

és

v \approx l ω

Kaposi András (Pannonhalma, Bencés Gimn. III. o.t.)
Blázsik Zoltán (Csongrád, Batsányi J. Gimn. III. o.t.) dolgozata alapján