Feladat: 1394. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Blázsik Zoltán ,  Kaposi András 
Füzet: 1977/április, 185 - 186. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nyomóerő, kötélerő, Centrifugális erő, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1976/november: 1394. fizika feladat

Egy m tömegű test ω szögsebességű körmozgást végez a függőleges tengely körül (l. az ábrát). Az l hosszúságú fonal felső végét a tengelyhez kötöttük, az s hosszúságú fonál alsó végét pedig a M tömegű gyűrűhöz, amely súrlódásmentesen csúszhat a tengely mentén. Határozzuk meg a m tömegű test sebességét!
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábrán berajzoltuk az egyes testekre ható erőket.

 


 

A m tömegű test mozgásegyenletei a vízszintes és a függőleges komponensekre:
mrω2=F1sinα+F2sinβ,(1)0=mg-F1cosα+F2cosβ.(2)
A M tömegű test mozgásegyenletét csak a függőleges komponensekre írjuk fel:
0=Mg-F2cosβ.(3)
(1), (2) és (3) egybevetésével, valamint a
sinα=r/l,sinβ=r/s(4)
geometriai egyenlőségek felhasználásával a
m+Ml2-r2rg+Ms2-r2rg=mrω2(5)
egyenletet kapjuk, amelyben csak r ismeretlen. Az (5) egyenlet adott M, m és ω értékek mellett numerikusan megoldható, ebből a m tömegű test sebessége
v=rω.(6)
Az (5) egyenletnek mindig gyöke az r=O. Ha ez az egyetlen gyök, a kötelek függőlegesek, a m tömeg ,,nem lódul ki''. Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy (5)-nek az r=0-n kívül más gyöke is lehessen:
m+Mlg+Mgs<mω2.(7)
Tegyük fel, hogy ω csak egy kicsit nagyobb, mint az a küszöbérték, amely fölött az r0 gyök megjelenik:
ω=ω0+Δω=(M+m)gl+Mgs+Δω
és
Δωω01.
Ekkor várhatóan r is kicsi. Felhasználhatjuk, hogy ha r/l1, akkor
1l2-r21l[1-(1/2)r2/l2]1l(1+12r2l2),(8)
hasonlóan r/s1 esetén
1s2-r21s(1+12r2s2)(9)
(8) és (9) felhasználásával (5) az
m2ω0Δω12(m+Ml3+Ms3)gr2(10)
alakra hozható, ahonnan
r4mω0Δω(M+m)g/l3+Mg/s3.(11)

Ha ω nő (Δω/ω0 már nem kicsi az 1-hez képest), (11) már nem jól közelíti az r-et. Ha ω, akkor r tart az l és s közül a kisebbik értékhez (csak ekkor tarthat (5) bal oldala +-hez). Tegyük fel, hogy s<l és ωω0. Ekkor
rs,
és a sebesség
vsω.
Fordított esetben (s>l) ωω0 esetén rl és vlω.
 

 Kaposi András (Pannonhalma, Bencés Gimn. III. o.t.)
 Blázsik Zoltán (Csongrád, Batsányi J. Gimn. III. o.t.) dolgozata alapján