Feladat: 1184. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Biczók László ,  Bíró Tamás ,  Tóth Imre 
Füzet: 1974/november, 176 - 177. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb Lotentz-transzformáció, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1974/január: 1184. fizika feladat

Az álló rendszerben 23105 m-nél 2 s-kor (C) és 53105 m-nél 3 s-kor (D) történik egy-egy esemény. Milyen gyorsan kell a repülőgépnek haladnia, hogy a pilóta ezeket az eseményeket egyidejűnek lássa? (L. a Téridő c. cikket a decemberi számban.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A C és D esemény az álló koordináta-rendszerben s=9105km távolságra t=1s időkülönbséggel játszódik le. A v sebességű repülőgép pilótája által észlelt T időkülönbséget a Lorentz-képlet segítségével számolhatjuk ki (l. az 1176. feladat megoldását):

T=t-(v/c2)s1-v2/c2.
Ha a pilóta szerint C és D esemény egyidőben játszódik le, akkor T=0, azaz
t-(v/c2)s=0.(1)
Ebből a repülő keresett sebessége
v=c2(t/s)=(3108km/s)2(1s/9105km)=105km/s.

Általában két, egymástól s távolságra t időkülönbséggel lejátszódó eseményt csak akkor láthatunk egyidejűnek egy koordináta-rendszerből, ha a koordináta-rendszer sebességét meghatározó (1) összefüggésből a fénysebességnél kisebb sebességet kapunk:
|v|=c2|ts|<c,
azaz
|s|>c|t|.(2)
(Az abszolút értékek segítségével figyelembe vettük a v<0 esetet is, tehát amikor s és t különböző előjelű.)
 

  Biczók László (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o. t.)
 

Megiegyzés. Ha egy megfigyelő az (l) összefüggéssel meghatározott sebességnél gyorsabban megy, a két esemény megfigyelt időbeli sorrendje felcserélődik. Ez nem sérti az okság elvét: ugyanis a két eseményt kapcsolatba hozó anyagi hatásnak
|s||t|>c
sebességgel kellene haladnia, amit a relativitáselmélet tilt.
Belátható, hogy ha két eseményre vonatkozóan
|s||t|<c,
akkor a két esemény időbeli sorrendje minden megvalósítható koordináta-rendszerben megegyezik.
 

  Bíró Tamás (Bp., Berzsenyi D. Gimn., IV. o. t.)
 

II. megoldás. Tegyük fel, hogy a C és D eseményt egyidejűnek észlelő pilóta az események időpontjában egyenlő távolságra van a C és D ponttól, azaz a CD szakasz A felezőpontjában tartózkodik (l. az ábrát).
 

 

Az egyidejű eseményektől induló fényjelek a repülőt is egyidőben érik el (P pont). Az ábra jelöléseit használva, a repülő sebességét a
v=x/T
hányados határozza meg. Az ábrából leolvashatók a következő egyszerű geometriai összefüggések:
s/2+x=c(T+t/2),s/2-x=c(T-t/2).
A két egyenletet kivonva, ill. összeadva
x=ct/2,T=s/2c.
Ebből a repülő keresett sebessége
v=x/T=c2(t/s).

 

  Tóth Imre (Eger, Gárdonyi G. Gimn., III. o. t.)
 

Megjegyzés. A feladat kitűzésekor sajnálatos sajtóhibával a km egységek helyére m került. A megoldók javarésze ezt a sajtóhibát észrevette. Teljes értékűnek tekintettük azokat a megoldásokat is amelyek a kitűzött egységű adatok és a fénysebesség tényleges 3105km/s értékének felhasználásával készültek: ebben az esetben nincs olyan repülő, amelyről a két eseményt egyidejűnek észlelnék. A fénysebesség hibás értékével dolgozó megoldók csak csökkentett pontszámot kaphattak.