Kezdőlap


Feladat:	1166. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bíró Tamás , Hamza István , Mandula Kálmán , Vladár Károly
Füzet:	1974/május, 230 - 233. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb rögzített tengely körüli forgás, Torziós inga, Forgási energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/november: 1166. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vizsgáljuk az $a = 0$ esetet! A dísz $φ$ szögű elforgatásakor a két fonál csavarvonal alakot vesz fel (középvonaluk egy $r$ sugarú henger palástjára csavarodik), ahol a fonál a függőlegessel $α$ szöget zár be. Képzeletben lecsavarva (1. ábra) látható, hogy a súlyerő és a fonálerő eredője

\begin{matrix} F_{x} = \frac{m g}{2} tg α \end{matrix}

nagyságú, feltéve, hogy a dísz súlya a két fonálban egyenlően oszlik meg.

1. ábra

Kis

α

szögek esetén

\begin{matrix} tg α \approx sin α = r φ / l . \end{matrix}

A díszre egymástól

2 r

távolságban ható

F_{x}

nagyságú, ellentétes irányú erőkből álló erőpár hat, így a díszre ható visszatérítő nyomaték

\begin{matrix} M = - \frac{m g r^{2}}{l} φ, \end{matrix}

az általa létrehozott szöggyorsulás

\begin{matrix} β = - \frac{m g r^{2}}{l Θ} φ . \end{matrix}

Mivel a szöggyorsulás arányos a kitéréssel és azzal ellentétes irányú, forgási rezgés jön létre. A

\begin{matrix} β = - ω^{2} φ \end{matrix}

összefüggés alapján a rezgés

ω

körfrekvenciája

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{\frac{m g r^{2}}{Θ l}}, továbbá T = 2 π \sqrt[]{\frac{Θ l}{m g r^{2}}} . \end{matrix}

a \neq 0

esetén

tg α = \frac{a + r φ}{\sqrt[]{l^{2} + {(a + r φ)}^{2}}}

. Ha

φ

elég kicsi, akkor

a ≫ r φ

, tehát

tg α \approx \frac{a}{\sqrt[]{l^{2} + a^{2}}}

.
Ekkor

\begin{matrix} M = \frac{m g a r}{\sqrt[]{l^{2} + a^{2}}}, β = - \frac{m g a r}{Θ \sqrt[]{l^{2} + a^{2}}} . \end{matrix}

Tehát a karácsonyfadísz kis kitérés esetén állandó szöggyorsulással mozog a nyugalmi helyzet felé, majd a nyugalmi helyzeten áthaladva szöggyorsulása hirtelen előjelet vált.

Hamza István (Bp., Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján

II. megoldás. A feladat energiatétellel is megoldható, ami a folyamat lejátszódásának mechanizmusáról több információt szolgáltat.

a = 0

esetén

φ

szögű elcsavarodáskor a dísz

Δ h

-val feljebb emelkedik, ahol

\begin{matrix} Δ h = l - \sqrt[]{l^{2} - {(r φ)}^{2}} = l - l \sqrt[]{1 - {(\frac{r φ}{l})}^{2}} \approx l - l [1 - \frac{1}{2} {(\frac{r φ}{l})}^{2}] = \frac{r^{2}}{2 l} φ^{2} . \end{matrix}

A helyzeti energia megváltozása

\begin{matrix} E_{h} = (1 / 2) m g (r^{2} / l) φ^{2} . \end{matrix}

A helyzeti energia megváltozása

φ^{2}

-tel arányos, tehát az a forgatónyomaték, amely ellen munkát végeztünk,

φ

-vel arányos, vagyis harmonikus forgási rezgés történik (2. ábra).

2. ábra

Az ábrából leolvasható, hogy a visszatérítő nyomaték

\begin{matrix} M = - \frac{m g r^{2}}{l} φ, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{Θ l}{m g r^{2}}} . \end{matrix}

Rezgéskor a dísz felemelkedésének helyzeti energiája alakul át periodikusan forgási energiává.

\begin{matrix} φ = φ_{0} sin ω t, \end{matrix}

tehát a dísz függőleges mozgását az alábbi összefüggés írja le (3. ábra):

\begin{matrix} Δ h = \frac{r^{2}}{2 l} φ_{0}^{2} sin^{2} ω t . \end{matrix}

3. ábra

a \neq 0

esetén (4. ábra) a dísz a fonál összecsavarodása előtt a felfüggesztés alatt

\begin{matrix} h_{0} = \sqrt[]{l^{2} - a^{2}} \end{matrix}

távolságra helyezkedik el.

4. ábra

A díszt

φ

szöggel elforgatva a két fonál

l - l_{1}

hosszúságú darabja csavarodik egymásra, ekkor a dísznek a felfüggesztéstől mért távolsága

\begin{matrix} h = \sqrt[]{l_{1}^{2} - a^{2}} + \sqrt[]{{(l - l_{1})}^{2} - {(r φ)}^{2}} . \end{matrix}

l_{1}

értékét az határozza meg, hogy az adott

φ

szögnél a dísz a lehető legmélyebb helyzetét veszi fel, tehát

h

-nak

l_{1}

függvényében maximuma van:

\begin{matrix} \frac{d h}{d l_{1}} = \frac{l_{1}}{\sqrt[]{l_{1}^{2} - a^{2}}} + \frac{l_{1} - l}{\sqrt[]{{(l - l_{1})}^{2} - {(r φ)}^{2}}} = 0. \end{matrix}

Az egyenlet

l

-nél kisebb megoldása

\begin{matrix} l_{1} = \frac{l a}{a + r φ} . \end{matrix}

Ezt

h

-ba beírva és felhasználva az

1 / (1 - x) \approx 1 + x

és

\sqrt[]{1 + x} = 1 + (x / 2)

közelítéseket

\begin{matrix} Δ h = \frac{r a}{\sqrt[]{l^{2} - a^{2}}} | φ | és E_{h} = \frac{m g r a}{\sqrt[]{l^{2} - a^{2}}} \end{matrix}

Mivel a helyzeti energia

φ

abszolút értékével arányos és így

M

állandó, mindig a nyugalmi helyzet felé mutató,

\begin{matrix} β = \frac{m g r a}{Θ \sqrt[]{l^{2} - a^{2}}} \end{matrix}

állandó szöggyorsulású mozgás jön létre (5. ábra):

\begin{matrix} φ = \frac{β}{2} t^{2} és Δ h = \frac{r a}{\sqrt[]{l^{2} - a^{2}}} \frac{β}{2} t^{2} . \end{matrix}

5. ábra

A periódusidő az egyenletesen gyorsuló mozgás összefüggéseinek felhasználásával fejezhető ki,

4

-szerese annak az időnek, amíg a dísz nyugalmi helyzetéből a maximális

φ_{0}

kitérést eléri:

\begin{matrix} T = 4 \sqrt[]{\frac{2 φ_{0} Θ \sqrt[]{l^{2} - a^{2}}}{r a m g}} . \end{matrix}

Vladár Károly (Kiskunhalas, Szilády Á. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. A mozgás dinamikai leírása során elhanyagoltuk a dísz függőleges mozgását, mivel elég vékony fonál esetén a dísz nagyon gyorsan forog, miközben függőleges sebessége nagyon kicsi marad.
2. Ha

0 < a ≪ l

, akkor a mozgás jobb közelítéssel, szinuszos rezgés részeivel is leírható, mivel ekkor

a \neq 0

esetén is használható a

tg α \approx sin α

helyettesítés.