Feladat: 1166. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bíró Tamás ,  Hamza István ,  Mandula Kálmán ,  Vladár Károly 
Füzet: 1974/május, 230 - 233. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb rögzített tengely körüli forgás, Torziós inga, Forgási energia, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/november: 1166. fizika feladat

Egy m tömegű, Θ tehetetlenségi nyomatékú karácsonyfadísz két nyújthatatlan, de végtelen hajlékony fonálon függ az ábrán látható módon. Hogyan mozog a dísz, ha függőleges tengelye körül megforgatjuk, majd elengedjük? (Vizsgáljuk először az α=0 esetet!)
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vizsgáljuk az a=0 esetet! A dísz φ szögű elforgatásakor a két fonál csavarvonal alakot vesz fel (középvonaluk egy r sugarú henger palástjára csavarodik), ahol a fonál a függőlegessel α szöget zár be. Képzeletben lecsavarva (1. ábra) látható, hogy a súlyerő és a fonálerő eredője

Fx=mg2tgα
nagyságú, feltéve, hogy a dísz súlya a két fonálban egyenlően oszlik meg.
 

 

1. ábra
 

Kis α szögek esetén
tgαsinα=rφ/l.
A díszre egymástól 2r távolságban ható Fx nagyságú, ellentétes irányú erőkből álló erőpár hat, így a díszre ható visszatérítő nyomaték
M=-mgr2lφ,
az általa létrehozott szöggyorsulás
β=-mgr2lΘφ.
Mivel a szöggyorsulás arányos a kitéréssel és azzal ellentétes irányú, forgási rezgés jön létre. A
β=-ω2φ
összefüggés alapján a rezgés ω körfrekvenciája
ω=mgr2Θl,továbbáT=2πΘlmgr2.
a0 esetén tgα=a+rφl2+(a+rφ)2. Ha φ elég kicsi, akkor arφ, tehát tgαal2+a2.
Ekkor
M=mgarl2+a2,β=-mgarΘl2+a2.

Tehát a karácsonyfadísz kis kitérés esetén állandó szöggyorsulással mozog a nyugalmi helyzet felé, majd a nyugalmi helyzeten áthaladva szöggyorsulása hirtelen előjelet vált.
 

Hamza István (Bp., Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján

 

II. megoldás. A feladat energiatétellel is megoldható, ami a folyamat lejátszódásának mechanizmusáról több információt szolgáltat.
a=0 esetén φ szögű elcsavarodáskor a dísz Δh-val feljebb emelkedik, ahol
Δh=l-l2-(rφ)2=l-l1-(rφl)2l-l[1-12(rφl)2]=r22lφ2.
A helyzeti energia megváltozása
Eh=(1/2)mg(r2/l)φ2.
A helyzeti energia megváltozása φ2-tel arányos, tehát az a forgatónyomaték, amely ellen munkát végeztünk, φ-vel arányos, vagyis harmonikus forgási rezgés történik (2. ábra).
 

 

2. ábra
 

Az ábrából leolvasható, hogy a visszatérítő nyomaték
M=-mgr2lφ,
tehát
T=2πΘlmgr2.
Rezgéskor a dísz felemelkedésének helyzeti energiája alakul át periodikusan forgási energiává.
φ=φ0sinωt,
tehát a dísz függőleges mozgását az alábbi összefüggés írja le (3. ábra):
Δh=r22lφ02sin2ωt.
 

 

3. ábra
 
a0 esetén (4. ábra) a dísz a fonál összecsavarodása előtt a felfüggesztés alatt
h0=l2-a2
távolságra helyezkedik el.
 

 

4. ábra
 

A díszt φ szöggel elforgatva a két fonál l-l1 hosszúságú darabja csavarodik egymásra, ekkor a dísznek a felfüggesztéstől mért távolsága
h=l12-a2+(l-l1)2-(rφ)2.
l1 értékét az határozza meg, hogy az adott φ szögnél a dísz a lehető legmélyebb helyzetét veszi fel, tehát h-nak l1 függvényében maximuma van:
dhdl1=l1l12-a2+l1-l(l-l1)2-(rφ)2=0.
Az egyenlet l-nél kisebb megoldása
l1=laa+rφ.
Ezt h-ba beírva és felhasználva az 1/(1-x)1+x és 1+x=1+(x/2) közelítéseket
Δh=ral2-a2|φ|ésEh=mgral2-a2
Mivel a helyzeti energia φ abszolút értékével arányos és így M állandó, mindig a nyugalmi helyzet felé mutató,
β=mgraΘl2-a2
állandó szöggyorsulású mozgás jön létre (5. ábra):
φ=β2t2ésΔh=ral2-a2β2t2.
 

 

5. ábra
 

A periódusidő az egyenletesen gyorsuló mozgás összefüggéseinek felhasználásával fejezhető ki, 4-szerese annak az időnek, amíg a dísz nyugalmi helyzetéből a maximális φ0 kitérést eléri:
T=42φ0Θl2-a2ramg.
 

Vladár Károly (Kiskunhalas, Szilády Á. Gimn., IV. o. t.)

 

Megjegyzések. 1. A mozgás dinamikai leírása során elhanyagoltuk a dísz függőleges mozgását, mivel elég vékony fonál esetén a dísz nagyon gyorsan forog, miközben függőleges sebessége nagyon kicsi marad.
2. Ha 0<al, akkor a mozgás jobb közelítéssel, szinuszos rezgés részeivel is leírható, mivel ekkor a0 esetén is használható a tgαsinα helyettesítés.