Feladat: 1165. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Schmidt József 
Füzet: 1974/május, 229 - 230. oldal  PDF file
Témakör(ök): Forgási energia, Tehetetlenségi nyomaték, Gördülés lejtőn, Csúszásmentes (tiszta) gördülés, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/november: 1165. fizika feladat

Egy r sugarú homogén golyó az α hajlásszögű lejtőn olyan két sínen gördül csúszásmentesen lefelé, melyeknek éle egymástól a távolságra van.

a) Mekkora a golyó gyorsulása?
b) Legalább mekkora súrlódási együtthatóra van szükség a golyó és a sínek között?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 

Rajzoljuk fel a golyóra ható erőket. Az 1. ábra az erőknek a golyó pályáján áthaladó függőleges síkba eső vetületeit ábrázolja, a 2. ábra pedig a golyó haladási irányára merőleges vetületeket. N a sínek nyomóerejét, S pedig a súrlódási erőt jelöli.
 

 

1. ábra
 

 

 

2. ábra
 

A pályára merőleges irányban a golyó nem mozdul el, így
0=mgcosα-2Nd/r.
A lejtővel párhuzamos irányban a mozgásegyenlet:
ma=mgsinα-2S.
A golyó szöggyorsulását a golyóra ható erők súlypontra vonatkoztatott forgatónyomatéka határozza meg. Esetünkben forgatónyomatéka csak a súrlódási erőnek van:
2Sd=(2/5)mr2β.
A golyó gördülő mozgást végez, a sínen nem csúszik meg, tehát a sínekkel érintkező pontok sebessége zérus. Ez a sebesség a haladó, ill, a forgó mozgás sebességéből adódik, s így
v-ωd=0.
Hasonló kifejezés érvényes a gyorsulásokra is:
a-βd=0.
A felírt egyenletekből az összes ismeretlent (α,β,S,N) kiszámíthatjuk. Tudjuk azonban, hogy a gördülésnél szerepet játszó tapadási súrlódási erő nem lehet akármilyen nagy a
SμN
feltétel fönt kell hogy álljon, ellenkező esetben a golyó csúszni fog. Az egyenleteket megoldva:
a=g(sinα)5d25d2+2r2=5g(sinα)4r2-a1228r2-5a12,S=mg(sinα)r25d2+2r2=4mg(sinα)r228r2-5a12,N=12mg(cosα)rd=mg(cosα)r4r2-a12.

A súrlódási együtthatóra vonatkozó feltétel:
μSN=(tg  α)2rd5d2+2r2=(tg  α)4r4r2-a1228r2-5a12.
Ha μ kisebb, mint az egyenlőtlenség jobb oldalán levő szám, akkor a golyó megcsúszik a sínen.
 

Schmidt József (Esztergom, Dobó K. Gimn., )III. o, t.)