Feladat: 1112. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Főző Csaba 
Füzet: 1973/november, 172 - 173. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb energia, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/február: 1112. fizika feladat

Egy E energiájú részecske egyenes mentén mozoghat adott f(x) potenciáltérben (f(x) folytonos függvény). Mi a feltétele annak, hogy periodikus mozgás jöjjön létre? Mikor maximális a szélső helyzetek távolsága és mekkora az? Vizsgáljuk a feladatot általánosan, majd a következő adott potenciálterek mellett:
a)f(x)=Dx2,
b)f(x)=aebx,
c)f(x)=-x2+ax+b,
d)f(x)=acos(bx+c).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Valamely x pontban a kinetikus energia (1/2)mv2=E-f(x), tehát a test v=2/mE-f(x) sebességgel rendelkezik.
Ha E>f(x), a test mozog; ha E=f(x), a test áll; a mozgás során pedig a részecske nem juthat olyan x pontba, ahol E<f(x) teljesülne.
A periodikus mozgás feltétele, hogy az E=f(x) egyenletnek legyen két különböző valós gyöke (x1 és x2) úgy, hogy E>f(x), ha x1<x<x2. Ekkor valóban periodikus mozgás jön létre; a test az x1 és x2 szélső helyzetekben áll, a közbenső pontokban pedig mozog.
A fenti feltétel akkor teljesíthető, ha a potenciálfüggvénynek van legalább egy minimuma. Ekkor az E összenergia értékét úgy kell választanunk, hogy f(xmin)<E<f(xmax) legyen, ahol xmax a legközelebbi maximumhely (ha ilyen létezik).

 

 

A rezgés szélső helyzeteinek s távolságára mindig igaz az s<|x0-xmax| egyenlőtlenség (l. az ábrát). A maximális kitérés a jobb értéket tetszőlegesen megközelítheti. Ha már az egyenlőség teljesül, az xmax helyen a test (labilis) egyensúlyi állapotba kerül ‐ a rezgés megszűnik.
Amennyiben a függvénynek több lokális minimuma is van, E-től függően többféle periodikus mozgás is létrejöhet.
A megadott függvényeknél a b) és c) esetekben periodikus mozgás nem valósulhat meg (a függvényeknek nincs minimumuk).
a) f(x)=Dx2 (a harmonikus rezgőmozgás potenciáltere).
A mozgás feltétele E>0, a szélső helyzetek távolsága E növelésével tetszőlegesen naggyá tehető (s=2E/D).
d) f(x)=acos(bx+c).
A periodikus mozgás feltétele -a<E<a, a szélső helyzetek maximális távolsága s=2π/b.
 

Főző Csaba (Sopron, József A. Gimn., IV. o. t.)