Kezdőlap


Feladat:	1080. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bíró Tamás , Főző Csaba
Füzet:	1973/március, 134 - 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-törvény, Tömegpont egyensúlya, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/október: 1080. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyensúly esetén a $Q_{1}$ és $Q_{2}$ töltések által a $P$ töltésű gömbre kifejtett $F_{1}$ és $F_{2}$ erők függőleges komponenseinek összege egyenlő a $Q$ töltésű test súlyával.

1. ábra

Legyen

Q Q_{1} Q_{2} ∢ = α

(1. ábra), ekkor az 1. ábra jelöléseivel:

\begin{matrix} F_{1} = k Q Q_{1} / r^{2} = (k Q Q_{1} cos^{2} α) / h^{2}, \\ F_{2} = k Q Q_{2}) / r^{2} = (k Q Q_{2} cos^{2} α) / h^{2} . \end{matrix}

Az egyensúly feltétele:

\begin{matrix} F_{1} sin α + F_{2} sin α = [k Q (Q_{1} + Q_{2}) cos^{2} α sin α] / h^{2} = m g . \end{matrix}

Azonos átalakítás után

\begin{matrix} sin^{3} α - sin α + \frac{m g h^{2}}{k Q (Q_{1} + Q_{2})} = 0. \end{matrix}

Bevezetve az

x = sin α

jelölést, a numerikus adatok behelyettesítése után az

\begin{matrix} x^{3} = x - (1 / 4) \end{matrix}

egyenletet kapjuk.
Az

y = x^{3}

és

y = x - 0, 25

függvényeket ábrázolva (2. ábra) milliméterpapíron, leolvashatók a gyökök közelítő értékei, amelyeket pl. intervallumfelezéssel tetszőleges pontossággal meghatározhatunk.

2. ábra

Az egyenlet pozitív gyökei:

\begin{matrix} x_{1} = 0, 838; x_{2} = 0, 269. \end{matrix}

Innen

α_{1} \approx 57^{\circ}

és

α_{2} \approx 16^{\circ}

adódik egyensúlyi helyzetnek.
Az

α \approx 57^{\circ}

-os egyensúlyi helyzet stabilis, mert a golyót felfelé, ill. lefelé kimozdítva az elektrosztatikus erő kisebb, ill. nagyobb lesz a súlyerőnél, tehát az eredő lefelé, ill. felfelé mutat és visszaviszi a golyót eredeti helyzetébe. A másik egyensúlyi helyzet labilis, mert itt kimozdítva a golyót, arra olyan erő hat, amely a kitérést növelni igyekszik.

Főző Csaba (Sopron, József A. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. A golyó egyensúlyban van azon

α

szöggel jellemzett helyzetekben, ahol az

\begin{matrix} E (α) = m g h tg α + \frac{k Q (Q_{1} + Q_{2})}{h} cos α \end{matrix}

potenciális energiafüggvénynek helyi szélsőértéke van. A maximum labilis, a minimum stabilis egyensúlyi helyzetet jelent.
A

\frac{d E}{d α} = 0

feltétel most is ugyanarra a

sin α

-ban harmadfokú egyenletre vezet, mint az előbb az erők egyensúlyának vizsgálata.

Biró Tamás (Bp., Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)